Handelt es sich um eine lineare Abbildung?

Question

es ist folgende Abbildung gegeben, die Frage lautet, ob nun diese Abbildung ein Vektorraumhomomorphismus / lineare Abbildung ist? Die Nullen sind der Verwirrungsfaktor...

Würde mich über eine Erklärung/ einen Beweis freuen! :)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beipiel für eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen?

Stichworte: vektorraum,abbildung,lineare

dies soll ein Beipiel für eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen sein:

v₁        v₁

v2   =   v2

v3        v3

             0

             0

↓           ↓  

Vektor 1 & 2 [stellt euch um die Vektoren die Klammern vor... :) ]

Abbildung zwischen Vektorräumen

Könnte das jemand bitte näher erläutern? Warum ist das eine Abbildung, ist das formal korrekt notiert und was sollen die "Nullen" zum Ausdruck bringen?

 

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Meinst du sowas wie \(f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^5,\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x\\y\\z\\0\\0\end{pmatrix}\)?

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Ja, genau! Achso, so ist das gemeint, eine Abbildung des reellen 3-dimensionalen Vektorraums  auf den 5-dimensional reellen Vektorraum. Und was bildet auf die null ab? Eigentlich nichts, ist diese Abbildung aber dennoch eine lineare Abbildung, also ein Vektorraum-Homomorphismus?

und danke für den Denkanstoß! :)

Answer 1

Besorge dir die Definition "f heißt Vektorraumhomomorphismus von dem K-Vektorraum V in den K-Vektorraum W, wenn für alle a∈K und alle v₁,v₂∈V die Gleichungen f(av₁) = af(v₁) und f(v₁+v₂) = f(v₁) + f(v₂) gelten."

Überprüfe dann jede in der Definition genannten Bedingungen:

Seien a ∈ ℝ, x= (x₁ x₂ x₃)^T, y = (y₁ y₂ y₃)^T ∈ ℝ³. Dann ist

f(ax) = (ax₁ ax₂ ax₃ 0 0)^T = a(x₁ x₂ x₃ 0 0)^T = af(x).

f(x+y) = (x₁+y₁ x₂+y₂ x₃+y₃ 0 0)^T = (x₁ x₂ x₃ 0 0)^T + (y₁ y₂ y₃ 0 0)^T = f(x) + f(y).

Fertig.

> Die Nullen sind der Verwirrungsfaktor...

Das ist ja auch kein Wunder. Die Nullen sind halt recht eigenwilige Geschöpfe. Manchmal machen sie so wenig; praktisch überhaupt nichts (zum Beispiel bei der Addition) und manchmal verschlingen sie alles was ihnen über den Weg läuft (zum Beispiel bei der Multiplikation). Kann ich aber gut nachvollziehen; würde ich auch machen wenn keiner mit mir teilen wollte.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort, habe es jetzt  verstanden! Dankeschön!!! :)