Hallo KamikazeCat,
betrachte eine natürliche Zahl n∈N und bilde ihren Rest bei der Division durch 3 bzw. beim Bilden des Modulo 3. Da gibt es nur drei Möglichkeiten:
n≡xmod3x∈{0,1,2}
Setze nun jeden der drei Fälle in einen der beiden Terme ein. Für den ersten Term n(n+1) wähle ich x=0 und x=2. Im Fall von x=0 ist n durch 3 teilbar und für x=2 ist n+1 durch 3 teilbar und damit auch das Produkt von n(n+1).
Für den zweiten Term bleibt x=1. Es gilt
n≡1mod3→n(n+1)+1≡0mod3
Beweis: Mit n≡1mod3 kann man n schreiben als n=3k+1 mit k∈N0. Das setze ich ein und erhalte:
n(n+1)+1=(3k+1)(3k+2)+1=9k2+9k+3=3(3k2+3k+1)
und das ist durch 3 teilbar.
Gruß Werner