Steckbriefaufgaben Oberstufe

Question

die Aufgabenstellung bei der ich nicht weiterkomme lautet:

Welche ganzrationale Funktion kleinstmöglichen Grades hat einen Graphen, der punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft und in S (1/1) einen Sattelpunkt hat?

Eine schnelle Antwort wäre lieb.

Answer 1

Hallo Letra,

Sattelpunkt (1|1)  =  Wendepunkt mit waagrechter Tangente

Das ergibt drei Bedingungen:

f(1) = 1  , denn S liegt auf dem Graph

f '(1) = 0 , denn Tangente in x=1 hat die Steigung 0

f "(1) = 0 , S ist Wendepunkt

3 Bedingungen → 3 Unbekannte sind festgelegt

Punktsymmetrie zu O  →   nur ungerade Exponenten von x

die "ganzrationale Funktion kleinstmöglichen Grades" hat also die Form

f(x) = ax⁵ + bx³ + cx

f '(x) = 5ax⁴ + 3bx² + c

f "(x) = 20ax³ + 6bx

f(1) = 1      →     a + b + c = 1           G1

f '(1) = 0    →   5·a + 3·b + c = 0      G2

f "(1) = 0   →     20·a + 6·b = 0         G3

Subtrahiere:  G2 - G1 , dann fällt c weg und du erhältst zusammen mit G3  ein lineares GS mit den Unbekannten a und b, das du wohl lösen kannst.

 Einsetzen von a und b in G1 ergibt dann c.

Kontrolllösung:  a = 3/8  ;  b = - 5/4  ;  c = 15/8

f(x) = 3/8 · x⁵ - 5/4 · x³ + 15/8 · x

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Mit diesem Online-Rechner kannst du Steckbriefaufgaben lösen (selbstverständlich nur zur Kontrolle :-))

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hallo Letra,

durch den Sattelpunkt sind drei Bedingungen gegeben:

f(1) = 1

f'(1) = 0

f''(1) = 0

Da der Graph symmetrisch zum Ursprung ist, hat die Gleichung nur ungerade Exponenten, die kleinstmögliche wäre also eine Funktion dritten Grades mit

f(x) = ax^3 + bx

Die hat aber nur zwei Unbekannte, eine Funktion 5. Grades hingegen drei:

f(x) = ax^5 + bx^3 + cx

f'(x) = 5ax^4 + 3bx^2 + c

f''(x) = 20ax^3 + 6bx

f(1) = 1 ⇒ a + b + c = 1

f'(1) = 0 ⇒ 5a + 3b + c = 0

f''(1) = 0 ⇒ 20a + 6b = 0

Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt

a = 3/8, b = -5/4 und c = 15/8

Gruß, Silvia