Reihenwert bestimmen für die Reihe ∞ ∑n=1 1/ (2n+1)^2

Question

Berechnen Sie unter Verwendung von ∞ ∑n=1 1/n^2 = π^2/6 (das müssen Sie nicht beweisen) den Reihenwert von ∞ ∑n=1 1/ (2n+1)^2.

Kann jmd. mir paar Tipps geben? ,

MfG

Answer 1

$$\quad\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=1+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)^2}\\\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)^2}=\frac34\cdot\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}-1=\frac{\pi^2}8-1.$$

Comments

ist der Grenzwert von summe (1/(2n)^2)=4/3? und wie kommt man drauf?

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Nein. Es ist \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{4n^2}=\frac14\cdot\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\).
Verrechne diese Summe mit der links des Gleichheitszeichens.

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Leider verstehe ich die erste Umformung vor dem Implikationspfeil nicht. Nach welcher Regel(n) wurde \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}\) zum rechten Ausdruck umgeformt, bzw. wie kommt man darauf?

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Umformung vor dem Implikationspfeil

auf der rechten Seite steht

 1  +  Summe für gerade n  [2n]   +  Summe für ungerade n  ohne 1  [2n+1]