Koeffizienten einer Matrix bestimmen, dass sie orthogonal ist

Question

 

Moin

ich weiß, dass man hier, um die Koeffizienten zu errechnen Q * Q transponiert = E zur Hilfe nehmen kann.

Ich bekomme für a13 = 0,5 heraus, für a21 = √(0,5)

für a31 =  0 und für a32 = -√(0,5)

(Notiz : In der Aufgabe steht a23, es muss aber a32 heißen)

Eine ähnliche Frage auf dieser Seite (https://www.mathelounge.de/183444/koeffizienten-bestimmen-so-dass-die-matrix-orthogonal-ist) hat mich die Grundlagen verstehen lassen, aber ich komme nicht auf die richtigen Ergebnisse,

da bei meinen Werten nicht die Einheitsmatrix herauskommt.

Gruß

Comments

(Notiz : In der Aufgabe steht a23, es muss aber a32 heißen)

Hast du die Matrix der Aufgabenstellung abgetippt? Sicher, dass da nicht irgendwo ein Minuszeichen fehlt?

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Nein, die habe ich so vom Prof. erhalten

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Groggy hat dennoch Recht. Nicht alles, was Professoren in die Welt versprühen, stimmt automatisch, mein lieber Wessowang!

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Soll das heißen, dass die Aufgabe nicht lösbar ist?

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So können Drehmatrizen aussehen https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrizen_des_Raumes_.7F.27.22.60UNIQ--postMath-00000015-QINU.60.22.27.7F

Anmerkung: Das ist jetzt kein Tipp zum Rechenweg!

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Soll das heißen, dass die Aufgabe nicht lösbar ist?

Doch, ist lösbar. Moment, bin in der finalen Phase :-P

Answer 1

Hallo noch einmal ! :-)

Die Gleichung  Q·Q^T = I₃ führt zu einem LGS mit den Lösungen a_13 = -1/2, a_21 = -1/sqrt(2), a31 = 0, a32 = 1/sqrt(2).

Grüße

Comments

Okay, danke schon Mal!

Ein Frage habe ich immer noch,

ich habe mit deinen a31 und a32 gerechnet, komme aber nicht auf die Einheitsmatrix.

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ich habe mit deinen a31 und a32 gerechnet, komme aber nicht auf die Einheitsmatrix.

Ich auch nicht :-(  Habe gerade die Probe gemacht. 
Dann habe ich keine andere Idee, als das komplette Programm zu fahren :D
Also das LGS Q·Q^T = I₃ zu lösen. Das tu ich mir aber handschriftlich nicht an, habe das ein Programm für mich erledigen lassen. Eine einfachere Lösung fällt mir nicht ein / kenne ich nicht, bin nicht so der Matrizen-Freak.
Die Lösungen:

a_13 = -1/2
a_21 = -1/sqrt(2)
a31 = 0
a32 = 1/sqrt(2)

 Probe

Grüße

P.S. Antwort geändert.

Answer 2

bei einer orthogonalen Matrix stehen Spaltenvektoren orthonormal aufeinander.

Es gilt daher vi*vj=δij.

Damit lässt sich z.B direkt a31=±1/2

und a23=±1/√2

bestimmen, denn die Beträge der Vektoren müssen =1 sein.

Die restlichen Werte erhältst du mithilfe der Orthogonalität der Vektoren untereinander.