Funktionsapproximation Verständnis

Question

ich sitze an einer Aufgabe dessen Lösung ich habe.

Eine Funktion mit folgenden Werten ist gegeben:

t(1) = 1

t(2) = 3

t(4) = 3

t(5) = 1

Approximieren Sie diese Funktion durch ein Polynom 2. Grades. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

1. Bestimmen Sie die quadratische Fehlerfunktion E(w).

2. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen ∂E(w)/∂w_i fur alle w_i.

3. Losen Sie das resultierende Gleichungssystem, das entsteht wenn ∂E(w)∂w_i= 0 und geben Sie das Polynom an.

Da es sonst etwas umständlich wird, hier ein Bild zu meiner Lösung:

Selber habe ich alles geschafft und verstanden, nur verstehe ich einfach nicht wie man auf folgende Zeile in der Lösung kommt:

∂E(w)/∂w₀ = 0 ⇔ 4w₀ + 12w₁ +46w₂  = 8

Wäre sehr dankbar für eure Hilfe, es geht wirklich nur darum das ich nicht verstehe wie man auf diese Werte in der Zeile kommt.

Answer 1

Hi,

Du hast ja

$$  \frac{\partial E(w)}{\partial w_i} = \sum_{n=0}^3 \left[ \left( \sum_{k=0}^2 w_k x_n^k - t_n  \right) x_n^i \right] $$
für \( i = 0 \) folgt also
$$  \frac{\partial E(w)}{\partial w_0} = \sum_{n=0}^3 \left[ \sum_{k=0}^2 w_k x_n^k - t_n \right] =  \sum_{n=0}^3 \left[ w_0 + w_1 x_n + w_2 x_n^2 - t_n \right] $$
Es gilt \( \sum_{n=0}^3 1 = 4 \), \( \sum_{n=0}^3 x_n = 12 \), \( \sum_{n=0}^3 x_n^2 = 46 \) und \( \sum_{n=0}^3 t_n = 8 \)

Also folgt aus  \( \frac{\partial E(w)}{\partial w_0} = 0 \) die Gleichung
$$ 4 w_0 + 12 w_1 + 46 w_2 = 8 $$

Comments

Hallo und Danke schonmal,

leider ist es mir noch immer nicht ganz klar. Nehmen wir die 2. Summenformel, dort würde rauskommen x₀ + x₁ + x₂ + x₃ . Wie kommst du da auf 12? 

Mal angenommen ich würde die Messwerte einsetzen: 1+ 3+ 3+ 1 = 8. 

Was wurde für x_n  eingesetzt?

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12 = 1 +2+4+5

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Jetzt ist es klar :)

Answer 2

Warum soll bei den Werten etwas approximiert
werden ?
f(1) = 1
f(2) = 3
[
Parabel
f(4) = 3
f(5) = 1

]

Da der Extrempunkt bei x = 3 liegen muß gilt
f ' (3) = 0
daraus ergibt sich
f(x) = -2/3*x^2 + 4*x - 7/3

Die Funktion passt zu allen Angaben.

Comments

Nicht schlecht, trotzdem muss ich das da oben verstehen und eventuell in der Klausur genauso machen können^^

Auch wenn ich das Gefühl habe , dass mir ullim´s Erklärung nicht so schwer erscheinen sollte, verstehe ich nicht ganz wie man auf die Werte kommt. Siehe Kommentar unter seinem.

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Zu Ullims Antwort bzw. den geforderten
Lösungen in der Fragestellung habe ich
leider keine Ahnung.

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In diesem Spezialfall geht es wohl auch so. Im Allgemeinen gilt aber, wenn man mehr als drei vorgegebene Punkte hat, kann man keine Parabel exakt durch die Punkte legen. Deshalb muss man die Summe der Fehlerquadrate minimieren und daraus die Koeffizienten der Parabel berechnen, und das ist das, was ich gemacht habe.