Skalarprodukt Herleitung

Question

Die erste Form des Skarprodukts lautet

a→ * b→ = lal * lbl * cos(phi)

Die zweite Form des Skalarprodukts lautet

a→ * b→ = a1 * b1 + a2  * b2 + a3 * b3

Wie kann man die zweite Form aus der ersten Form herleiten?

Answer 1

Kannst du herleiten über die Darstellung mittels der kanonischen

Einheitsvektoren

 Vektor a = a1 * e1 + a2*e2 + a3*e3

und die e sind die kanonischen Einheitsvektoren.

Answer 2

$$ \vec{a} = \sum_{k=1}^3 a_k \vec{e_k} $$ und $$ \vec{b} = \sum_{k=1}^3 b_k \vec{e_k}  $$ also

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i,j=1}^3 a_i b_j  \left(\vec{e_i} \cdot \vec{e_j} \right) = \sum_{k=1}^3 a_k b_k $$ weil \( e_i \cdot e_j = \begin{cases} 1 & \text{ für } i = j \\ 0 & \text{ für } i \ne j \end{cases} \) gilt