Vollständige Induktion a^i-1=a^n-1/a-1

Question

∑a^i-1= aⁿ-1/a-1 für alle a∈ℝ ausgenommen  ⟨0,1⟩ (dabei ist a⁰ als 1 definiert)

     

Answer 1

Ich hoffe, dass man das alles gut lesen kann (sind das 40 Buchstaben?) ... :-)

Comments

wow, das ging aber schnell!  !!!!!!!!! Diese Seite hier ist ja genial!:-)

Answer 2

∑ (i=1 bis n) a^{i - 1} = (a^n - 1) / (a - 1)

Induktionsanfang n = 1
a^0 = (a^1 - 1) / (a - 1)
1 = 1

Jetzt ist zu zeigen dass es für n+1 gilt, wenn es für n gilt.

∑ (i=1 bis n) a^{i - 1} + a^{(n + 1) - 1} = (a^{n + 1} - 1) / (a - 1)

(a^n - 1) / (a - 1) + a^n = (a * a^n - 1) / (a - 1)

a^n - 1 + a^n * (a - 1) = a * a^n - 1

a^n - 1 + a^n * a - a^n * 1 = a * a^n - 1

a * a^n - 1 = a * a^n - 1

qed.