Zeige: Ist bi Basis, dann ist bi(bj)T Basis

Question

ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe aber komme nicht weiter.
Kann jemand bitte mir helfen?
Vielen Dank schonmal!

Comments

(a) 

1. Was kommt denn geometrisch heraus, wenn man einen Vektor a^T mit einem Basisvektor multipliziert? 

2. Was ist geometrisch los, wenn alle Produkte mit den Basisvektoren als Resultat 0 haben? 

oder brauchst du nur noch (b) ? 

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Wenn du die Standardbasis von ${K}^{n}$ verwendest hättest du schon mal dass ${e}_{i}*{e}_{j}^{T}= {E}_{i,j}$ wobei ${E}_{i,j}$ n x n Matrizen sind die überall Nullen hat und an der Stelle $({e}_{ij})$ eine Eins steht und das ist dann auch die Standardbasis für n x n Matrizen

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+ wenn es ${n}^{2}$ linear unabhängige $n \times n$ Matrizen gibt, dann bilden diese bereits eine Basis von ${K}^{n \times n}$, denn die Dimension von ${K}^{n \times n}$ ist ${n}^{2}$. 

$\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \alpha }_{ i }{ b }_{ i }=0 }$ mit ${ \alpha }_{ i }=0$ für alle $1\le i\le n$, denn die Elemente einer Basis sind linear unabhängig.

$\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \alpha }_{ i }{ b }_{ i } } \sum _{ j=1 }^{ n }{ { \alpha }_{ j }b_{ j }^{ T } } = [...] =?\\$

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$\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \alpha }_{ i }{ b }_{ i } = 0 }$

mit 0 meinte hier den Nullvektor in ${K}^{n}$

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Ist das inzwischen fertig? 

Übrigens: Bitte Text abtippen. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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Hallo Banana123, bitte gib den Text als Text ein, damit man die Aufgabe mit google findet.  Wenigstens ohne Formeln.  Dann helfe ich dir weiter.