Aufgabe über Lineare Endomorphismen erklären

Question

für die folgende lineare Endomorphismen f von R^2 schreiben Sie die zugehörige Matrizen Mbb( f ) und Maa ( f ) bezüglich zu den Basen B = ( e 1 ,e 2 ) und A = ( e 1 + e 2 ,e 1 − e 2 )

a)  Die Homotopie f μ : R 2 → R 2 mit f μ ( x,y ) = μ · ( x,y ) für μ ∈ R

hier hab ich als Lösung

basis B :

fu(e1) = fu(1,0) = (u,o) = u * e1 + 0 * e2

fu(e2) = fu(0,1) = (0,u) = 0 * e1 + u * e2

=> MBB(f)=(u00u)

Basis A :

fu(e1+e2) = fu(1,1) = (u,u) = u * e1 + 0 * e2

fu(e2) = fu(1,-1) = (u,-u) = 0 * e1 + u * e2

=> MAA(f)=(u00u)

meine Fragen

warum haben wir für e1 =(1,0) und e2 = (0,1) und warum e1 +e2 = (1,1 ) ?

warum hat man bei Basis A (u * e1 + 0 * e2) bekommen obwohl vorher (u,u) steht ? also muss das nicht so stehen  (u,u) = u * e1 +u * e2 ?

b) Die Spiegelung an der x -Achse

hier hab ich als Lösung

Basis A :

f(x,y)=(x,−y)⇒
f(e1+e2)=f(1,1)=(1,−1)=e1−e2=0∗(e1+e2)+1∗(e1−e2)
f(e1−e2)=f(1,−1)=(1,1)=e1+e2=1∗(e1+e2)+0∗(e1−e2)
=> MAA(f)=(0110)

aber warum hat man 0∗(e1+e2)+1∗(e1−e2) obwohl vorher (1,-1) stehet? also muss das nicht so 1∗(e1+e2)+(-1)∗(e1−e2) sein?

Answer 1

Hi,

zur a):

Erste Frage:

\( e_i\) steht für den i-ten Einheitsvektor in \(\mathbb{K}^n\), wobei \(\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)

D.h. \((e_i)_j = \begin{cases} 1 \ , j=i \\ 0 \ , j \neq i \end{cases}\).

Im \(\mathbb{R}^3\) wäre \(e_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Zweite Frage:

Das, was da steht, ist nicht ganz korrekt. Sei \(A=(e_1+e_2,e_1-e_2)=:(a_1,a_2)\).

Du willst nun \(f(a_1)\) bzw. \(f(a_2)\) als Linearkombination von \(a_1\) und \(a_2\) schreiben.

D.h. \(f(a_1)=f((1,1)^T)=(\mu, \mu)^T= \mu \cdot (1,1)^T+0 \cdot (1,-1)^T=\mu \cdot a_1 + 0 \cdot a_2 \)

Genauso gehst du für \(f(a_2)\) vor.

Deine Darstellungsmatrizen sind aber korrekt.

Zur b):

Hier geht man genauso vor wie bei der a).

Zu deiner Frage: Du willst \(f(a_1)=f(e_1+e_2)\) als Linearkombination von \(a_1\) und \(a_2\) schreiben.

Es gilt: \(f(a_1)=f((1,1)^T)=(1,-1)^T=0 \cdot (1,1)^T+1 \cdot (1,-1)^T=0 \cdot a_1 +1 \cdot a_2\)

Genauso gehst du für \(f(a_2)\) vor.

Comments

danke !! ich hab alles verstanden aber noch nur eine Sache

du hast ja geschrieben 0* (1,1)^T + 1* (1,-1) ^T aber von wo kamen 0 und 1 die vor klammern stehen ?

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Bitteschön :)
Da müssen irgendwelche Zahlen davor stehen. Du willst \(f(a_1)\) als Linearkombination von \(a_1\) und \(a_2\) schreiben.

D.h. du suchst Koeffizienten \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) mit \(f(a_1)= \lambda_1 \cdot a_1+ \lambda_2 \cdot a_2\).

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ach eine Frage ist mir eingefallen

gibt es eine Möglichkeit die Koeffizienten zu finden oder ist das fast immer 1 und 0 ?

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Du kannst sie auch berechnen:
$$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

$$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 1 \\ \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot (-1) \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 + \lambda_2 \\ \lambda_1 - \lambda_2 \end{pmatrix}$$

D.h. du musst das Gleichungssystem

\(1= \lambda_1+\lambda_2\)

\(-1=\lambda_1-\lambda_2\)

lösen.

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ich saß 3 Stunden damit ich die verstehe und du hast mir die in 1 min erklärt

vielen Dank !!!!!

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Bitteschön

Freut mich, dass ich dir helfen konnte :)