Logarithmengleichungen lösen. Bsp. ln(2x+6) = ln(7-x) + ln(x)

Question

Bestimmen sie den Definitionsbereich und die Lösungsmenge.

1) ln(2*x+6)=ln(7-x)+ln(x)

2) lg(x-2)=1/2 lg(x)+1

Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen 

Answer 1

Hi,

nutze die Logarithmengesetze:

1) ln(2x+6) = ln(7-x) + ln(x)   |ln(a) + ln(b) = ln(a*b)

ln(2x+6) = ln((7-x)*x)             |e anwenden

2x+6 = 7x-x^2

x^2-5x+6 = 0                          |pq-Formel

x_(1) = 2

x_(2) = 3

--> Probe bestätigt die Ergebnisse.

2) lg(x-2)=1/2 lg(x)+1             |a*lg(b) = lg(b^a) und 1 = lg(10)

lg(x-2) = lg(x^{1/2}) + lg(10)   |lg(a) + lg(b) = lg(a*b)

lg(x-2) = lg(10x^{1/2})            |10 anwenden

x-2 = 10x^{1/2}                       |Quadrieren

x^2-4x+4 = 100x                     |Sortieren, dann pq-Formel

x_(1) = 52 + 30√3

x_(2) = 52 - 30√3

--> Probe bestätigt nur x_(1) als Lösung

Grüße

Answer 2

Das Argument des ln muss größer Null sein.

Verwende die log-Gesetze:

ln a+ ln b = ln(a*b), a*ln b = ln(b^a)

1. Es genügt ein Argumentevergleich.

2. lg(x-2)=1/2 lg(x)+1

lg(x-2)- lg x^{1/2} =1

lg((x-2)/x^{1/2}) = 1 |10^x

(x-2)/√x = 10

...

Answer 3

1) ln(2*x+6)=ln(7-x)+ln(x)

  ln(2*x+6)=ln((7-x)*(x)) | e hoch

2*x+6=(7-x)*x

2*x+6= 7x -x^2 | - 2x -6

0 =-x^2 +7x- 2x -6

0 =-x^2 +5x -6| * (-1)

0=x^2 -5x +6  ->PQ-Formel

x_1.2= 5/2± √(25/4 +24/4)

x_1.2= 5/2± 1/2

x₁=3

x₂= 2