Injektivität und Surjektivität überprüfen. f:R->R , f(x) = 7x^5

Question

Hi, ich hänge grad ein bisschen an einer Aufgabe über Injektivität sowie Surjektivität.

Ich hab zwar verstanden was Injektivität und Surjektivität sind, jedoch weiß ich nicht wie ich eine Funktion mathematisch auf eben diese überprüfe.

wie würde ich die Funktion

f:R->R            f(x) = 7x⁵

überprüfen?

Für injektivität hab ich gelesen soll gelten

f(x) = f(y) -> x=y

also: 7x⁵=7y⁵ , wodurch sich x=y ergibt. Ist diese Funktion dadurch eindeutig Injektiv?

Surjektivität prüft man wohl über die Inverse, also y=7x⁵ , -> x= ⁵√y/7

Kann mir jemand verraten wie ich das allgemein überprüfen kann

Answer 1

> 7x⁵=7y⁵ , wodurch sich x=y ergibt.

Diese Schlussfolgerung ist richtig.

> Ist diese Funktion dadurch eindeutig Injektiv?

Ja.

> y=7x⁵ , -> x= ⁵√y/7

Da fehlen Klammern: x = ⁵√(y/7)

Einige mögen nicht, dass negative Zahlen unter der Wurzel stehen. Die würden dann

        \(x = \begin{cases}- \sqrt[5]{|y/7|}&y < 0\\\sqrt[5]{y/7}&y \geq 0\end{cases}\)

schreiben. Zentraler Punkt ist aber, das du zu jedem y ein passendes x berechnen kannst. Also ist die Funktion surjektiv.

Comments

Ah sehr gut, danke. Das heißt dass man einfach bei der inverse nach Definitionslücken sucht, sowas wie x=1/y womit y=0 nicht definiert ist?

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Oder auch sowas wie x = √y, wo y ≥ 0 sein muss und andere Werte folglich in der Bildmenge nicht vorkommen können. Deshalb ist

        f: ℝ→ℝ mit f(x) = x²

nicht surjektiv. Wichtig ist dabei aber, Definitions- und Zielmenge genau zu beachten. Zum Beispiel ist

        f: [0, ∞) → [0, ∞) mit f(x) = x²

bijektiv.

> Das heißt dass man einfach bei der inverse nach Definitionslücken sucht

Prinzipiell schon. Du solltest aber vielleicht das Wort "einfach" streichen, wie man an der Funktion f:ℝ→ℝ mit f(x) = x·e^x sieht. Es könnte sich als recht herausfordernd herausstellen, die nach x umzustellen.

Answer 2

f(x) = f(y) -> x=y

also: 7x^5=7y^5 , wodurch sich x=y ergibt. Ist diese Funktion dadurch eindeutig Injektiv?

JA ! 

Surjektivität prüft man wohl über die Inverse, also y=7x5 , -> x= 5√y/7

eventuell etwas genauer: 

Sei y≥0,  dann stimmt dein Argument.

Für y<0 ist  x = -  ⁵√y/7 ein Wert für x mit f(x)=y.