Flächeninhalt einer Funktion berechnen f(x)=-x^3+8x^2-5x-14

Question

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der kleinsten und der größten Nullstelle (der Funktion f(x) zwischen der Funktion f(x)und der X-Achse liegt. Geben Sie den Flächeninhalt ungerundet und ohne Einheit an.

Könnt ihr mir helfen und erklären wie ich zum Ergebnis gelange..

Danke.

Comments

Faktorisiere den Term mit einer Polynomdivision. Erste Nullstelle raten. Sie muss ein ganzzahliger Teiler der Konstanten 14 sein.

-1 ist Nullstelle --> Term durch (x+1) dividieren.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorise+-x%5E3%2B8x%5E2-5x-14

Dann integrieren.

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Dann integrieren.

Ganz so einfach ist es nicht, da die Fläche aus einem Teil mit negativen Wert und einem Teil mit positivem Wert besteht. Beide müssen einzeln integriert und die Beträge summiert werden. (\(F=143 \frac56\))

Answer 1

Wenn du vermutest, dass alle Nullstellen ganze Zahlen sind, kannst du raten.

Entferne den Vorfaktor von x^3 . --->  x^3-8x^2+5x+14

Faktorisiere die 14  in 3 Faktoren. z.B. 14 = 1*2*7 .

Es muss gelten (x1*x2*x3) = -14 

In Frage kommen z.B. 

x1 = -1, x2 = 2, x3 = 7

x1 = -1, x2 = -2, x3 = -7

x1 = 1, x2 = 2, x3 = -7

x1 = 1, x2 = -2, x3 = 7

Wenn du x1 = -1 und x2 = 2 durch raten gefunden hast, ist x3 automatisch -14/((-1)*2) = 7 .

Zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%5E3%2B8x%5E2-5x-14

Answer 2

Faktorisiere den Term . Erste Nullstelle raten:.-1 ist Nullstelle --> Term durch (x+1) dividieren.

Die fertige Faktorisierung ergibt sich dann nach dem Lösen einer quadratischen Gleichung als -(x+1)(x-2)(x-7). Kleinste Nullstelle x₁=-1. Größte Nullstelle x₃=7. Achtung! Dazwisen liegt noch x₂=2. Da es um einen Flächeninhalt geht, darf man darüber nicht hinwegintegrieren.