Lineares Gleichungssystem: a=a und b=-b zeigen

Question

ich habe 4 Gleichungen gegeben:

ab + cd = 0
a² + c²  = 1
b² + d²  = 1
ad - bc = 1

Und ich soll zeigen, dass gilt: c=b, d=a, a=a, und b=-b.
Ich hab mit dem LGS bereits die ersten beiden hinbekommen. Siehe Anhang.

Leider weis ich nicht, wie ich a=a und b=-b belegen kann. Bin schon voll am knobeln und umstellen/einsetzen aber komme nicht drauf. Hoffe jemand kann mir helfen. Das wäre super. Danke :)

Comments

Hi,

es ist wegen b = -b -> b = 0. Damit ist auch c = 0. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich dann a = 1 und folglich auch d = 1.

Setzt man das überall ein, bestätigt sich das gesamte LGS und damit auch c=b, d=a, a=a, und b=-b.

Grüße

Answer 1

a=a ist eine Selbstverständlichkeit, die immer gilt. b= - b gilt ausschließlich für b=0. ist das zwingend der Fall?

Comments

Also brauche ich a=a gar nicht zeigen, weil es eh identisch ist?

Desweiteren verstehe ich nicht warum bei b=-b ausschließlich b=0 sein soll (denke also nicht) bzw. ich darf halt eh nicht von b=-b ausgehen. Muss vom Ausgangspunkt die 4 Gleichungen betrachten und damit dann zeigen, dass b=-b ist.

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Natürlich sollt du nicht von b=0 ausgehen. Aber generell (ganz unabhängig von deiner Aufgabe) ist die Gleichung b=-b in den reellen Zahlen nur für b=0 erfüllt. Die Frage, die du noch beantworten musst: Ist b=0 in diesem System zwangsläufig der Fall?

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Ja in dem System schon, weil ich ja in der dritten Gleichung b² + d² = 1 sagen könnte b=0 und und damit ist d=1. Somit ist die Gleichung erfüllt. Das selbe mit c=0 und a=1 in der zweiten Gleichung.
Aber wie komme ich den nun  auf b=-b wenn ich diese Annahme mache? Probiere die Werte grad einzusetzen usw. aber komme darauf nicht.

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Meine Vorrednerin meinte ja:
"Setzt man das überall ein, bestätigt sich das gesamte LGS und damit auch c=b, d=a, a=a, und b=-b."
Ich muss das ja aus den Gleichungen herleiten und nicht so.

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Du hast doch schon c=b und d=a herausgefunden. Ersetze jetzt überall im System c durch b und d durch a.Dann erhältst du vier Gleichungen, von denen einige idenisch sind. Streiche also auf ein System von zwei Gleichungen zusammen und löse das.

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Ok. Ich habe jetzt c durch b und d durch a ersetzt:
Ich habe dann die neue erste Gleichung: ab+ba=0 genommen und umgestellt:
=> ab=-ba
<=> b= -ba/a
<=> b= -b
das passt schon mal.

Ich überlege grad noch wegen a=a. Aber das muss man mein ich gar nicht zeigen, weil das ja eh gleich ist.