Konvergenz von Folgen bestimmen

Question

Ich komm wieder mal nicht weiter. Wie soll man denn vorher schon untersuchen ob die Folgen konvergieren? Ich hätte das einfach mit dem Grenzwert gemacht, aber wie weiß ich das denn schon vorher?

Hier die Aufgaben

Vielen Dank schonmal!

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a) Kürze mit n^2

b) Kürze mit 3^n

c) Der sin ist periodisch.

Answer 1

> Wie soll man denn vorher schon untersuchen ob die Folgen konvergieren?

Indem man zeigt dass es eine Cauchy-Folge ist: (x_n)_n∈ℕ ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 ein N∈ℕ gibt, so dass |x_n-x_m| < ε für alle n,m > N ist.

Vorteil ist, dass man dazu keine Vermutung über den Grenzwert aufstellen muss.

Die Aufgabenstellung ist aber nicht so zu verstehen, dass du zum Beweis der Konvergenz nicht auf den Grenzwert zurückgreifen darfst. Du darfst bei (a) natürlich auch argumentieren, dass die Folge konvergiert, weil sie den Grenzwert 4 hat. Dann musst du natürlich beweisen, dass sie tatsächlich den Grenzwert 4 hat.

Comments

Weißt du zufällig, wie man bei der b) den Grenzwert ausrechne ohne dass man unendlich/undendlich teilen muss? Der gute l`Hosital bringt mich da auch nicht weiter. 

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Man stellt eine Vermutung auf, wie der Grenzwert lauten könnte, und beweist diese dann.

Ich vermute der Grenzwert ist 0.