Parameterfunktion f t (x) = 1/8t^{3}(x^{4}-8t^{2}x^{2})+2 etwas kompliziert

Question

ich komme leider mit folgender Parameterfunktion überhaupt nicht zurecht. Könnte mir jemand für R>0 beispielsweise : Nullstellen und Extrema berechnen und ggf. falls vorhanden, die Ortskurve der Tiefpunkte.

f t (x) = 1/8t^{3}(x^{4}-8t^{2}x^{2})+2

& MfG !

Answer 1

Hallo Exodius,

Nullstellen:

Multipliziere aus und fasse zusammen. Dann hast du eine biquadratische Gleichung ( nur die Potenzen x⁴ und x² ), die du mit der Substitution z = x² auf eine quadratische Gleichung reduzieren kannst:

   z² - 8·t^2 ·z + 16 / t³  =  0  , Resubstitution ergibt dann die x-Werte

Extrema:  

f_t(x) = 1/8·t³·(x⁴ - 8·t²·x²) + 2

f_t'(x) = t³ · x · (x² - 4·t²) / 2 = 0    ⇔   x = 0  oder  x = ± 2t

f_t"(x) = t³·(3·x² - 4·t²) / 2  →  f_t"(± 2t) = 4t⁵ > 0    →  T_1,2 ( ± 2t | 2 - 2·t⁷ )

                                                                                  H(0 | 2)  

Ortskurven der Tiefunkte:

 x_T = ± 2t  →  t = ± x/2  ,  in  y = 2 - 2t⁷  

               →  y =  2 ± x⁷ /64   

Es gibt also die Ortskurven    y =  2 - x⁷/64   für die Tiefpunkte ( 2t | 2 - 2t⁷ )  [vgl. Bild]

                                  und        y =  2 + x⁷/64  für die Tiefpunkte ( -2t | 2 - 2t⁷ ) 

Gruß Wolfgang

Answer 2

ft(x) = 1/8·t^3·(x^4 - 8·t^2·x^2) + 2

oder

ft(x) = 1/(8·t^3)·(x^4 - 8·t^2·x^2) + 2

oder noch anders?

Und was ist R > 0 meinst du t > 0 ?

Comments

Funktionen & Ableitungen
ft(x) = 1/8·t^3·(x^4 - 8·t^2·x^2) + 2 = 0.125·t^3·x^4 - t^5·x^2 + 2
ft'(x) = 0.5·t^3·x^3 - 2·t^5·x
ft''(x) = 1.5·t^3·x^2 - 2·t^5

Symmetrie
Achsensymmetrie bedingt durch die geraden Exponenten von x

Nullstellen ft(x) = 0
0.125·t^3·x^4 - t^5·x^2 + 2 = 0
x^4 - 8·t^2·x^2 + 16/t^3 = 0
z^2 - 8·t^2·z + 16/t^3 = 0 --> z = 4·t^2 ± √(16·t^4 - 16/t^3) --> x = ± √(4·t^2 ± √(16·t^4 - 16/t^3))

Extrempunkte ft'(x) = 0
0.5·t^3·x^3 - 2·t^5·x = 0 --> x = - 2·t ∨ x = 2·t ∨ x = 0
f(± 2·t) = 2 - 2·t^7 --> TP(± 2·t | 2 - 2·t^7)
f(0) = 2 --> HP(0 | 2)

Answer 3

1/8t³(x⁴-8t²x²)+2=0 setze x²=z

1/8t³(z²-8t²z)+2=0 dividiere durch t³/8

z²-8z+16/t³=0 Löse die quadratische Gleichung und resubstituiere.

Answer 4

die Nullstellen werden berechnet, indem man die Funktion Null setzt und dann nach x auflöst. Das werde ich mit der Substitution machen.

$$ft(x)=\frac{1}{8}t^3\cdot (x^4-8t^2x^2)+2\\z:=x^2\\\frac{1}{8}t^3\cdot (z^2-8t^2z)+2=0$$

Wegen dem Satz des Nullprodukts,kann man einfach die Nullstellen der Klammer ausrechnen.

$$z^2-8t^2z=0\\{z}_{1/2}=4t^2\pm\sqrt{(4t^2)^2}\\{z}_{1}=0\\{z}_{2}=8t^2$$

Jetzt die Resubstitution.

$$ {x}_{1/2}=\pm\sqrt{8t^2} $$

Das waren die Nullstellen

Die Extrema beantworte ich in den Kommentaren. Dann kannst du das hier schonmal durchlesen.

Gruß

Smitty

EDIT: Wie ich sehe, hat "Der_Mathecoach" dies schon beantwortet. Schau einfach bei ihm.

Comments

Hallo Smitty,

kleiner Fehlerhinweis

Wegen dem Satz des Nullprodukts,kann man
einfach die Nullstellen der Klammer ausrechnen.

Durch das Ausrechnen der Klammer wird die
Gesamtgleichung nicht Null.

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Hallo Smitty, völlig falsche Antworten kann man unter "Bearbeiten" links unten zu einem Kommentar machen, den man dann ggf. bearbeiten oder löschen kann.

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Hallo smitty,

gräme dich wegen eines Fehlers nur nicht
allzulang. Hinweis : bei

http://www.abiturloesung.de/

gibt es in schriftlicher Form : Abiturklausuren ( Grund- und Leistungskurs ) deren Lösungen
Schritt für Schritt sowie Unterrichtsstunden auf Video dazu. Ich konnte dort eine Menge lernen.