Grenzwert von (1-1/x^2)^x bestimmen

Question

Hi,

wie bestimme ich den Grenzwert von (1-1/x^2)^x  mit x gegen infty?

Answer 1

wenn ich hier schon l'hospital sehe wird mir schlecht ;-)

es ist

$$ (1+1/x^2)^x\\=(1+1/x)^x * (1-1/x)^x $$

und das strebt gegen e*1/e=1

Comments

Interessant, könntest du dies bitte etwas mehr ausführen? Verstehe deinen Weg nicht.

3. Bin Formel ist klar, aber geht das mit dem aus x werde n so einfach?

In der Ana 1 Klausur würde ich da keinen Punkt für bekommen, sowas müsste man ja erst zeigen.

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3. Bin Formel ist klar, aber geht das mit dem aus x werde n so einfach?

Lasse besser in den Exponenten ein x stehen. Das ist dort wohl ein Druckfehler.

In der Ana 1 Klausur würde ich da keinen Punkt für bekommen, sowas müsste man ja erst zeigen.

Habt ihr denn z.B. lim (1 + 1/x)^x nur für natürliche x bestimmt? 

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ah sorry, die n waren wirklich druckfehler :D

Aber der Grenzwert der e-Folge ist so elementar, dass er in jeder Ana 1 Vorlesung hergeleitet wird. In der Klausur hättest du dafür gar keine Zeit ;)

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Ja, dann ist es mir nun klar:) Danke

Answer 2

Wir haben folgendes $$\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^x  =\lim_{x\rightarrow \infty}e^{\ln{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^x}} \\ =\lim_{x\rightarrow \infty}e^{x\cdot \ln{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}}  =\lim_{x\rightarrow \infty}e^{\frac{\ln{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}}{x}} =e^{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}}{x}}\\  \overset{\text{De L'Hospital}}{ = } e^{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}\cdot \left(1-\frac{1}{x^2}\right)'}{1}}  =e^{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2}{x^2-1}\cdot \frac{2}{x^3}} \\ =e^{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2}{x^3-x}} =e^0=1$$

Answer 3

Eure Antworten sind mir noch zu kompliziert - ich versuche mal was:

$$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x^2}\right)^x$$

Substituiere \(z=x^2\)

$$= \lim_{z \to \infty} \left( \left( 1 - \frac{1}{z}\right)^z \right) ^{\frac{1}{\sqrt{z}}} = \lim_{z \to \infty} \left(\frac{1}{e} \right) ^{\frac{1}{\sqrt{z}}} = \left(\frac{1}{e} \right)^0 = 1$$

Comments

Wo kommt das e her?

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Die Frage müsste lauten "Wie begründest du das zweite Gleichheitszeichen in der letzten Zeile ?"

Wenn das so einfach wäre, dann auch 
lim _(x→∞) (1 + 1/x)^x  =  lim _(x→∞) ((1 + 1/x)^{√x})^{√x}
=  lim _(x→∞) (1)^{√x}  =  1

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"Wo kommt das e her?"

$$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x= e$$

und

$$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^x= \frac{1}{e}$$

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hj2166 schrieb: "Wenn das so einfach wäre ..." Hmm!? - darf man sich die Mathematik nicht mal so zurecht biegen, wie man sie braucht?

Answer 4

lim (x --> ∞) (1 - 1/x^2)^x

= lim (x --> ∞) EXP(LN((1 - 1/x^2)^x))

Kümmert man sich zunächst um den Exponenten

lim (x --> ∞) LN((1 - 1/x^2)^x)

= lim (x --> ∞) x * LN(1 - 1/x^2)

= lim (x --> ∞) LN(1 - 1/x^2) / (1/x)

L'Hospital

= lim (x --> ∞) 2/(x·(x^2 - 1)) / (- 1/x^2)

= lim (x --> ∞) 2·x/(1 - x^2)

= lim (x --> ∞) 2/(1/x - x) = -0

Nun nimmt man den e-Term dazu

lim (x --> ∞) EXP(LN((1 - 1/x^2)^x)) = EXP(0) = 1

Answer 5

Meine Berechnung:

Comments

einfacher mit 3. BF

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viele Wege führen nach Rom ....

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Danke für eure Antworten:)

Frage: Wie kommst du auf 1/x? Ich kenne den Trick zwar, indem man aus dem x ein 1/x macht und es dann statt xgegen infty nach 0  laufen lässt, allerdings ist es ja hier anders gemacht worden.

Zeile:

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Ich habe das Produkt umgeschrieben in einen Quotienten.

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Ach ja stimmt sry