Bernoullische Ungleichung Grenzwert

Question

WIe findet man den grenzwert einerfolge raus mit der Bernoullischen Ungleichung .(1+x)ⁿ  ≥1+n*x   ich kann den grenzwert von 1+n*x rechnen aber wieso sollte dieser Grenzwert auch für (1+x)^n gelten?

Answer 1

wenn x positiv ist, dann strebt 1+nx gegen unendlich für n gegen unendlich.

Und da (1+x)^n stets größer gleich 1+nx ist strebt der Term  in diesem Falle auch gegen unendlich. Das ist aber keine wirklich interessante Erkenntnis. Wie lautet die Originalaufgabe? 

Comments

Aufgabe (1+1/n²)ⁿ           

Bernoulisch ungleichung :(1+1/n2)n  ≥ 1+1/n

Grenzwert von der rechten seite wäre 1 aber ich verstehe immernoch nicht ganz weshalb es für die linke seite auch gelten soll..

---

Mit dieser Ungleichung

(1+1/n^2)^n  ≥ 1+1/n

zeigst du , dass (1+1/n^2)^n für große n durch 1 nach unten beschränkt ist.

Wenn du nun noch zeigen kannst, dass die Folge

(1+1/n^2)^n monoton fallend ist (reicht für große n) , bedeutet dies, dass der Grenzwert =1 ist.

---

Ohh okay das macht sinn danke

---

Jetzt wo ich darüber nach gedacht habe wenn die linke seite monoton fallend ist muss es aber nicht heißen das 1 der grenzwert ist die folge könnte auch den grenzwert 2 haben und somit immernoch größer sein als die rechte seite oder?

---

Ja das stimmt, gut aufgepasst ;)

---

Also bernoulli kann nicht den genauen grenzwert geben nur einen möglichen grenzwert?