Punkt a) der Aufgabe . Man sieht doch sofort, dass der Rang von A gleich Eins ist. Für eine n X n Matrix gilt aber
Rang ( A ) + dim Kern ( A ) = n ( 1 )
D.h. der Kern, der Eigenraum zum Eigenwert Null, ist doppelt entartet; E2;3 = 0
Wir gehen über die Spur
Sp ( A ) = E1 + E2 + E3 = E1 = 3 ( 2 )
Eigentlich ist auch klar, dass der einzige Bildvektor, die Raumdiagonale
e1 = ( 1 | 1 | 1 ) ( 3 )
Dieser Eigenvektor sein muss. Man mag dies aber auch explizit nachrechnen.
Da unsere Matrix ===> Hermitesch ist, ist sie selbstverständlich diagonalisierbar; die beiden Kernvektoren stehen dann senkrecht auf ( 3 ) Du hast nur eine Bestimmungsgleichung
x + y + z = 0 ( 4a )
Zunächst setzen x = 0, dann folgt y = - z und der ( primitive ) Kernvektor
e2 = ( 0 | - 1 | 1 ) ( 4b )
analog findet man durch Null setzen von y
e3 = ( - 1 | 0 | 1 ) ( 4c )
Doch wegen der Hermitezität hätte ich gerne zwei Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen:
e2 ' := e2 + e3 = ( - 1 | - 1 | 2 ) ( 4d )
e3 ' := e2 - e3 = ( 1 | - 1 | 0 ) ( 4e )
Punkt c) deiner Aufgabe. Die direkte Antwort; da sie singulär ist, einen nicht trivialen Kern hat, verschwindet ihre Determinante.
Eine etwas hoch gestochene Antwort: Die Determinante ist stets das Produkt ihrer Eigenwerte.
Mit Unterpunkt 4) hatten wir uns bereits ausführlich beschäftigt in ( 4a-e )
Punkt e) ; was weißt du über ===> homogene quadratische Formen ( HQF ) ? In Hauptaxhsenform ist das auch wieder ( im Wesentlichen ) die Summe der Eigenwerte ( Schau trotzdem nochmal genau nach. ) Unsere HQF kann nicht negativ werden schlicht und ergreifend, weil es keine negativen Eigenwerte gibt.
Eine HQF ist sowas Ähnliches wie ein Pseudo Skalarprodukt; und das Sandwich Produkt eines Vektors mit sich selber ist seine Pseudonorm ===> Sylvesterscher Trägheitssatz.
Jetz haste genug zu tun für die nächsten Semester ...
Teilaufgabe f)
x + y + z = 1 ( 5a )
x + y + z = 2 ( 5b )
x + y + z = 3 ( 5c )
die " widersprechen " sich doch alle; keine Lösung.
Sag mal ist g) eine Veraasche oder ein Dreckfuhler? Weil das ist doch gar nicht definiert; links steht eine Matrix und rechts eine c-Zahl. Du kannst doch nicht Äpfel mit Birnen vergleichen oder
" Thou cannot apples with pears fare equal " wie wir Runaways sagen ...
