Bestimmen Sie die Grenzwerte (Heaviside)

Question

folgende Funktionen sind gegeben:

zu folgender Zusammensetzung lautet das Ergebnis "1" :

Ich komme dort aber nur auf "0". Denn der Grenzwert zu f(x) ist "0"?! Und H(0) = 0!

Wahrscheinlich ist die Lösung ganz einfach aber ich verstehe es einfach nicht. Bitte um einen kurzen Ratschlag.

Danke.

Answer 1

es ist zwar 

lim x---> ∞ 1/x =0

aber das nützt nix, denn die Heaviside Funktion ist unstetig.

Stattdessen ist

f(x)>0 für alle x>0

Somit ist H(f(x))=1 für alle x>0 und somit 

lim x--->∞ H(f(x))=1

Comments

Okay. Aber wieso geht es denn nicht bis 0 runter? Hat das etwas mit dem unendlich+ zu tun?

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Was meinst du genau? Solange das Argument der Heaviside Funktio größer 0 ist, kommt immer 1 heraus, so ist die Funktion definiert. Da ist es auch egal, ob wir der uns der Null im Argument unendlich nähern, wir erreichen sie ja niemals.

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Sorry dass ich das nicht verstehe.

Für mein Verständnis wird f(x) bei lim x-> unendlich gleich 0. Wieso nicht in diesem Fall? In anderen Fällen der Aufgabe wird f(x) auch 0.

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Wieso nicht in diesem Fall?

Weil die Heaviside Funktion H(x) in x=0 unstetig ist.

Daher gilt die Regel 

$$ \lim\limits_{x\to\infty}H(f(x)) = H(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)) $$

hier nicht.