Optimierung Koordinaten bestimmen

Question

Ich habe hier eine Aufgabe die wir schon im Unterricht besprochen haben, aber ich habe leider den Rechenweg immer noch nicht verstanden, könntet ihr mir bitte Tipps geben?

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes auf der Geraden mit Gleichung f(x)=5-2x, der vom Ursprung den kürzesten Abstand hat.

Lösung: Zielfunktion d=√(x²+(5-2x)²)

Punkt mit dem kürzesten Abstand zu O: P(2/1)

Lg Nancy

Answer 1

Der gesuchte Punkt ist in der Form P(x | 5-2x), da dieser auf der gegebene Gerade liegt. Der Abstand zwischen zwei Punkt $$P_1(x_1\mid y_1) \ \text{ und } P_2(x_2\mid y_2) \text{ ist } d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$ Der Abstand zwischen den Punkt P und dem Ursprung O(0 | 0) ist also gleich $$d=\sqrt{(x-0)^2+([5-2x]-0)^2}=\sqrt{x^2+(5-2x)^2}=\sqrt{x^2+25-20x+4x^2}=\sqrt{5x^2-20x+25}$$ Das ist eine Funktion die von x abhängt, also $$d(x)=\sqrt{5x^2-20x+25}$$ Wir wollen den Punkt bestimmen, sodass der Abstand minimal ist. Das ist also ein Extremwertproblem. Wir berechnen also das x sodass die Funktion d(x) minimal ist. Dazu brauchen wir die Ableitungen von d(x). Die erste Ableitung lautet (hier brauchen wir die Kettenregel) $$d'(x)=\frac{1}{2\sqrt{5x^2-20x+25}}\cdot (5x^2-20x+25)' \\ =\frac{1}{2\sqrt{5x^2-20x+25}}\cdot (10x-20)=\frac{5x-10}{\sqrt{5x^2-20x+25}}$$ Die Nullstellen der ersten Ableitung sind gleich die Nullstellen von 5x-10, also x=2. (Um zu prüfen dass es tatsächlich um ein Minimum der Funktion handelt, setzen wir diesen Punkt in der zweiten Ableitung ein und prüfen ob das Ergebnis positiv ist.) Wir haben also dass die Funktion d(x) ein Minimum an der Stelle x=2 hat, also der Punkt mit den kürzesten Abstand von O(0 | 0) ist $$P(2 | 5-2\cdot 2)=P(2\mid 5-4)=P(2\mid 1)$$ 

Comments

(Um zu prüfen dass es tatsächlich um ein Minimum der Funktion handelt, setzen wir diesen Punkt in der zweiten Ableitung ein und prüfen ob das Ergebnis positiv ist.)

Das wäre aber sehr aufwändig und du hast es ja auch gar nicht gemacht. Netterweise hat aber die Ableitung d' einen (−/+)-Vorzeichenwechsel an der Stelle x=2, so dass die Minimalität gesichert ist.

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Oder gar nicht erst ableiten und die Scheitelstelle von x^2 +(5-2x)^2

bestimmen.

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Wie komme ich genau auf die Scheitelstelle?

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Hallo Marianthi, wie komme ich auf diese Ableitung? 

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Zur Scheitelstelle:

x^2+(5-2x)^2=x^2+25-20x+4x^2

=5x^2-20x+25=5*[x^2-4x+5]

=5*[(x-2)^2+5-4]

Die Scheitel stelle ergibt sich, wenn der Term unter dem Quadrat gleich 0 ist, also bei x=2. Dies setzt du nun in d ein.

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Hallo Nancy, 

die Funktion d(x) ist eine Verkettung von zwei Funktionen, wir haben die Wurzelfunktion und der Ausdruck unter der Wurzel ist die quadratische Funktion 5x²-20x+25. 

Um die Ableitung zu berechnen brauchen wir die Kettenregel. Die Kettenregel lautet $$f(x)=g(h(x)) \ \rightarrow \ f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$$ Die äußere Funktion ist in diesem Fall g(x) = √x und die innere Funktion ist die h(x) = 5x²-20x+25. Bei der Ketternregel brauchen wir die Ableitung der Funktionen g(x) und h(x). Wir haben folgendes $$g'(x)=\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ \text{ und } \\ h'(x)=\left(5x^2-20x+25\right)'=\left(5x^2\right)'-\left(20x\right)'+\left(25\right)' \\ =5\cdot 2x-20\cdot 1+0=10x-20$$ Wir setzen diese in der Kettenregel ein und bekommen $$d'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{h(x)}}\cdot h'(x) \\ =\frac{1}{2\sqrt{5x^2-20x+25}}\cdot \left(10x-20\right)$$ Von der Klammer kann man eine 2 ausklammern und bekommen dann $$d'(x)=\frac{1}{2\sqrt{5x^2-20x+25}}\cdot 2\cdot  \left(5x-10\right)$$ Die 2 kürzt sich dann und so bekommen wir $$d'(x)=\frac{1}{\sqrt{5x^2-20x+25}}\cdot \left(5x-10\right)=\frac{5x-10}{\sqrt{5x^2-20x+25}}$$

Answer 2

Hier eine symbolische Skizze

 

d ( Hypotenuse ) ist der Abstand zwischen einem
Punkt auf der Funktion und dem Ursprung.

Pythagoras

d^2 = x^2 + [f(x)]^2

d ( x ) = √ ( x^2 + ( 5-2x )^2 )

Normalerweiser müsstest du zur Berechnung jetzt
die erste Ableitung bilden und zu null setzen.
Es geht aber einfacher.

( √ term ) ´ = ( term ´ ) / ( 2 * √ term )
Wir suchen aber nur
( term ´ ) / ( 2 * √ term ) = 0
Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler null ist. Also
( term ´ ) = 0
( x^2 + ( 5-2x )^2 ) ´ = 2x - 2 * ( 5 - 2x ) - (-2)
2x - 2 * ( 5 - 2x) * (-2) = 0
x = 2
f ( 2 ) = 5 - 4 = 1
( 2 | 1 )

Answer 3

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes auf der Geraden mit Gleichung f(x)=5-2x, der vom Ursprung den kürzesten Abstand hat.

Schneiden wir die Gerade f einfach mit ihrer Normalen y=x/2 durch den Ursprung, so ist anschaulich klar, dass wir so den Punkt auf f mit dem kürzesten Abstand zum Ursprung bekommen, es ist nämlich der Fußpunkt des Lotes von O auf f:

5-2x=x/2 ⇔ x=2

und damit auch y=1.

Answer 4

  Gebildete Zeigenossen machen das mit Giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino; und mit Wrzel gleich gar nicht. Die Hauptbedingung

     D  (  x  ;  y  )  :=  x  ²  +  y  ²  =  min   (  1a  )

     Nebenbedingung ist die Geradengleichung:

    G  (  x  ;  y  )  :=  2  x  +  y  =  5  =  const       (  1b  )

    Den Lagrangeparameter von ( 1b )  nenne ich k ; wir haben die ===> Linearkombination zu bilden

     H  (  x  ;  y  )  :=  D  (  x  ;  y  )  +  k  G  (  x  ;  y  )          (  2a  )

     Notwendige Bedingung für Minimum : Der ===> Gradient von H verschwindet.

      H_x  =  2  x  +  2  k  =  0  ===>  k  =  -  x         (  2b  )

      H_y  =  2  y  +  k  =  0  ===>  k  =  -  2  y        (  2c  )

      Gleichsetzungsverfahren    ( 2b;c ) um den Dummy k zu eliminieren:

        2  y  -  x  =  0         (  3a  )

    Überleg dir mal, dass die Lösungsgerade  ( 3a )  auf der Ausgangsgeraden  (  1b  )   senkrecht steht und woran das liegen könnte. Zu lösen ist also das LGS   ( 1b;3a )  ; Auflösen con ( 3a ) ergibt x = 2 y .  Das in ( 1b ) eingesetzt gibt y = 1  ; und dann findest du mit ( 3a )  x = 2 .