Bei welcher Kurve der Schar fa(x) schneidet die Wendetangente die Ordinatenachse am tiefsten?

Question

Hallo ich habe mal eine Frage denn ich finde den Ansatz für eine Matheaufgabe nicht. Diese lautet wie folgt:

Bei welcher Kurve der Schar f_a(x) schneidet die Wendetangente die Ordinatenachse am tiefsten?

Und hier die dazugehörige Schargleichung:

f_a(x)=1/a*x³-x²  +a*x-a

Answer 1

f_a(x)=1/a*x^3-x^2  +a*x-a

f_a ' ' (x) =  6x / a   - 2  = 0 

               <=>  x = a/3 

==>   W (  a/3  ; 7a^2 / 27 - a ) 

==> Wendetangente hat Steigung f a ' (a/3) = 2a / 3 

also Tangentengleichung  y = mx + n 

                           7a^2 / 27 - a  = (2a/3) * (a/3) + n 

                                    a^2 / 27  - a  = n 

Also ist der Schnitt mit der Ordinatenachse bei   o(a) =   a^2 / 27  - a 

Davon ein Minimum mit Abl. = 0 ergibt   2a/27 - 1 = 0 

                                                                            a = 27/2 

Und 2. Abl.   o ' ' (a) = 14/27 > 0   Also ist bei    a = 27/2  ein Min. Und weil

o(a) eine quadratische Funktion ist, ist es das absolute Min.

Antwort: Für a=27/2 schneidet dei W-Tang. die Ord.achse am tiefsten.

Answer 2

f(x) = 1/a·x^3 - x^2 + a·x - a

f'(x) = 3/a·x^2 - 2·x + a

f''(x) = 6/a·x - 2

Wendestelle f''(x) = 0

6/a·x - 2 = 0 --> x = 1/3·a

Wendetangente

t(x) = f'(1/3·a)·(x - 1/3·a) + f(1/3·a)

t(x) = 2/3·a·(x - 1/3·a) + 7/27·a^2 - a

t(x) = 2/3·a·x + a^2/27 - a

Y-Achsenabschnitt

b(a) = a^2/27 - a

Tiefste Stelle b'(a) = 0

b'(a) = 2/27·a - 1 = 0 --> a = 27/2 = 13.5