Cosinusfunktion - kleinste Periode?

Question

Gegeben ist eine Cosinusfunktion mit der Funktionsgleichung f(x) = cos (2·x).

Ich versteh nicht so ganz, warum f periodisch mit der kleinsten Periode π ist. Oder wie das aussehen sollte. Würde mich sehr freuen, wenn Ihr mir da behilflich sein könntet.

Comments

Hier die Definition von Periode. https://de.wikipedia.org/wiki/Periodische_Funktion#Definition

Answer 1

cos(2x) ist gegenüber cos(x) mit dem Faktor 2 in x Richtung gestaucht. Wo die cos(x) Funktion also nach die Periode 2pi hatte hat cos(2x) also nur noch die Periode pi.

cos(4x) hätte dann die Periode pi/2

Du solltest in der Lage sein dir die Funktionen zu skizzieren.

Comments

Ist also die kleinste Periode von einem Anfangspunkt zum anderen?

---

Bei der Sinus und Cosinusfunktion ist dies der Abstand zweier nebeneinander liegender Hoch- oder Tiefpunkte.

Answer 2

Kleinste Periode von cos(x) ist 2π.

Um cos(2π) zu berechnen, wird der Wert 2π in die Funktion cos(x) eingesetzt.

Um cos(2π) zu berechnen, kann aber auch der Wert π in die Funktion f(x) = cos(2x) eingesetzt werden.

Allgemeiner, um cos(a + 2πn) zu berechnen, kann a + 2πn in die Funktion cos(x) eingesetzt werden. Es kann aber auch (a+πn)/2 in die Funktion f(x) = cos(2x) eingesetzt werden, weil 2·(a+πn)/2 = a+2π.

Das was cos(x) also im Abstand von 2π immer wieder macht, macht die Funktion f(x) im halben Abstand (oder anders ausgedrückt, doppelt so schnell).

Oder wie das aussehen sollte.

Schaffe dir eine Möglichkeit, Funktionsgraphen anzuzeigen, zum Beispiel GeoGebra, Maxima oder einen grafikfhigen Taschenrechner.

Comments

Woher kommt 2πn?

---

Kleinste Periode von cos(x) ist 2π.

Das bedeutet, für jede Zahl a gilt

cos(a) = cos(a+2π) = cos(a + 2π·2) = cos(a + 2π·3) = cos(a + 2π·4) = ...

Das n in 2πn darf also durch eine beliebige ganze Zahl ersetzt werden.

Answer 3

Hallo beater_girl,

cos(x) hat die kleinste Periode 2π

alle y-Werte kommen bei cos(2x) statt bei x bei x/2 vor   →  kleinste  Periode π

Gruß Wolfgang