Allgemeine Form in Scheitelpunktform - ohne quadratische Ergänzung möglich?

Question

Kann man eine Gleichung aus der Form ax²+bx+c auch ohne die quadr. Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen oder den Scheitelpunkt anders ablesen? Danke

Comments

In der folgenden Frage ist noch ein Verfahren zum Faktorisieren des Funktionsterms beschrieben: Quadratischen Term Ax² + Bx + C faktorisieren auf andere Art und Weise

Nachdem du die Gleichung faktorisiert hast, lassen sich die Lösungen leicht bestimmen (wenn einer der Faktoren Null wird, so ist das Produkt Null).

Answer 1

es gibt noch die Möglichkeit, die Nullstelle der Ableitung zu suchen. Der Scheitelpunkt ist ja ein Extremum, somit muss die Nullstelle der Ableitung mit der x-Koordinate des Scheitelpunktes übereinstimmen:

\( f'(x) = 2ax + b = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{2a} \).

Dies eingesetzt in die Ausgangsfunktion f(x) ergibt

\( f(x) = a \left( - \frac{b}{2a} \right)^2 - b \frac{b}{2a} + c \)

\( = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \)

\( = - \frac{b^2}{4a} + c \)

und der Scheitelpunkt ist durch

\( (x, y) = ( - \frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} + c ) \)

gegeben.

MfG

Mister

Answer 2

Du könntest die Nullstellen bestimmen.

Hat die Funktion genau eine Nullstelle, ist dies auch die Scheitelpunktstelle xs.

Hat die Funktion zwei Nullstellen n1 und n2, dann liegt die Scheitelpunktstelle xs aufgrund der Symmetrie einer Parabel genau in der Mitte zwischen diesen Nullstellen, also:

xs = ( n1 + n2 ) / 2

Hat die Funktion jedoch keine Nullstelle, dann muss man einen Trick anwenden: Bei nach oben geöffneter Parabel (positiver Steckfaktor a) subtrahiert man eine hinreichend große Zahl vom absoluten Glied c des Funktionsterms, so dass die Parabel parallel zur y-Achse so weit nach unten verschoben wird, dass sie dann doch eine oder zwei Nullstellen hat.

Bei nach unten geöffneter Parabel (negativer Streckfaktor a) muss man dementsprechend eine hinreichend große Zahl zum absoluten Glied c addieren, um die Parabel nach oben zu verschieben.

 

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Ableitung der Funktion f ( x ) gleich Null zu setzen und nach x aufzulösen. Dies ist dann die x-Koordinate des Scheitelpunktes, denn jede Parabel hat genau einen Scheitelpunkt und dieser ist die einzige Stelle im Graphen einer Parabel, an der die Steigung des Graphen der Funktion (also deren Ableitung) den Wert Null annimmt. 

 

Für ganz Faule gibt es dann noch eine Formel für die Koordinaten des Scheitelpunktes S:

Sei f ( x ) = a x ² + b x + c .

Der Scheitelpunkt S ( xs | ys ) hat dann die Koordinaten:

S ( - b / ( 2 a ) | ( 4 a c - b ² ) / ( 4 a ) )