Ableitung von 1/x mit Differenzenquotient?

Question

hallo ich brauche die Ableitung von 1/x mit der differenzialpuotienten Rechnung. Also mit

( f(x)-f(x0))/(x-x0)

EDIT: Fehlende Klammern um Zähler und Nenner ergänzt.

Answer 1

die Ableitung $y'$ an der Stelle $x_0$ ist

$$\begin{aligned} y'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{x_0}{x \cdot x_0}-\frac{x}{x \cdot x_0}}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{x_0 - x}{(x - x_0) \cdot x \cdot x_0} \\&= \lim_{x \to x_0} \frac{-(x - x_0)}{(x - x_0) \cdot x \cdot x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{-1}{x \cdot x_0} \\ &= \frac{-1}{x_0^2}\end{aligned}$$

Comments

Danke für deine Antwort Werner-Salomon. Ich verstehe nur leider deinen Rechenweg nicht und das ab dem Punkt wo du 1/x ersätzt durch x bzw. x0. Du erweiterst mit x und dann hört es bei mir kommplet mit dem verständnis auf. Wenn du mir darauf noch antworten könntest das wäre echt super nett von dir. dankeschön aber schonmal.

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Hallo Phu24,

ich ersetzte nirgends $1/x$ durch $x$. Das wäre auch verkehrt. Dass $$f(x) = \frac{1}{x}$$ ist und $$f(x_0) = \frac{1}{x_0}$$ sollte klar sein. Aber noch mal ganz langsam - und nur der Term hinter dem Limes:

$$\frac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0}= \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}}{x-x_0} = \dots$$ ich erweitere $1/x$ mit $x_0$ und $1/x_0$ mit $x$, so dass beide Brüche den gleichen Nenner (den Hauptnenner) haben

$$\space = \frac{\frac{x_0}{x \cdot x_0} - \frac{x}{x \cdot x_0}}{x-x_0}$$

dann kann ich beide Brüche im Zähler zu einem zusammen fassen:

$$\space = \frac{\frac{x_0 -x}{x \cdot x_0}}{x-x_0}$$

Jetzt den ganzen Bruch mit $x \cdot x_0$ erweitern. Im Zähler kürzt sich der dann weg

$$\space = \frac{\frac{x_0 -x}{x \cdot x_0} \cdot x \cdot x_0}{(x-x_0) \cdot x \cdot x_0} = \frac{x_0 -x}{(x-x_0) \cdot x \cdot x_0}$$

jetzt im Zähler das Minuszeichen vorziehen, damit in Zähler und Nenner der gleiche Term $(x-x_0)$ steht. Und anschließend diesen Term kürzen

$$\space = \frac{-(x -x_0)}{(x-x_0) \cdot x \cdot x_0} = \frac{-1}{x \cdot x_0}$$

Und im letzten Schritt kann man nun $x$ durch $x_0$ ersetzen, wie es im Limes angezeigt wird. Und dies ist jetzt möglich, da dann keine undefinierten Terme wie $0/0$ mehr entstehen:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{-1}{x \cdot x_0} = \frac{-1}{x_0 \cdot x_0} = \frac{-1}{x_0^2}$$ Gruß Werner

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Danke nochmals das hat mir echt weiter geholfen und ich habe durch dich eienen tollen Vortrag halten können. Dankeschön

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... ich habe durch dich einen tollen Vortrag halten können

Das freut mich :-)