Beweisen musst du hier eigentlich fast gar nix ;) . Du kannst im Grunde genommen alle bekannten Eigenschaften der komplexen Zahlen übernehmen, das umfasst
- die Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation (ist so definiert)
- die Existenz des inversen Elements e=1 (hast du oben ja auch begründet, ist eigentlich auch nur Definition)
- inverses Element , wenn z=c+di, dann ist z-1=(c-di)/(c2+d2) (hat auch Betrag 1)
- Abgeschlossenheit : z*w=ac-bd+(ad+bc)i ,
|z*w| = √((ac-bd)2+(ad+bc)2 ) =√(a2+b2)*√(c2+d2)=1 passt