Algebra: Reduzibilität des Polynoms x²+x+1 in GF(p)[x]

Question

Sei p eine Primzahl, \( a\in \mathbb{F}_p^*\) mit \(\text{ord}(a)=3\). Dann gilt:

$$ a + 1 = -a^2 $$

Das würde ja bedeuten, dass

$$ 3|p-1 \implies x^2+x+1 \in \mathbb{F}_p[x] \text{ ist reduzibel} $$

Hat jemand einen Gedankenanstoß für mich?

Comments

Das Polynom x²+x+1 ist in jedem Falle unzerlegbar in ℝ, denn der Scheitel der zugehörigen Parabel ist S(-1/2|3/4) und die Parabel ist nach oben geöffnet, hat also keine reellen Nullstellen.

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Ich interessiere mich allerdings für die Zerlegbarkeit in Polynomringen über endlichen Primkörpern, dass das Polynom aufgefasst als Element von \( \mathbb{R}[x] \) irreduzibel ist, war mir bewusst.

@Moderator: Frage bitte wieder öffnen.

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Verstehe die Markierung nicht genau. Habe die Antwort in einen Kommentar umgewandelt. Was möchtest du da genau bearbeitet haben?

Answer 1

\(X^2+X+1\) ist genau dann reduzibel, wenn \(-3\) ein Quadrat ist (abc-Formel).

Fuer \(p=7\) gilt Deine Bedingung und es ist \(X^2+X+1=(X-2)(X-4)\). Kann also stimmen.

Comments

Und was ist jetzt eigentlich genau die Frage? Warum für ein \(a\) mit \(\operatorname{ord}(a)=3\) die Gleichung \(a+1=-a^2\) gilt oder was?

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@Lu Ja, Danke das passt soweit, habe die Markierung wieder entfernt.

@Fakename: Genau, ich habe mich da vielleicht nicht genau genug ausgedrückt, aber das ist meine Frage :)

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$$0=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$$ Weil \(a\ne1\) und die Annullierungsregel gilt (wir sind in einem Koerper), ist eben die zweite Klammer null.

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Das klingt doch sehr einleuchtend.