Extremwertaufgabe: F(x) = 2000*x*e^-0,5x+2500

Question

Hallo liebe Community! Ich hätte eine Frage bezüglich dieser Aufgabe, wie muss man die erste und zweite Ableitung bestimmen?

Aufgabe: Bei einer neu eröffneten Bäckerei kann die Anzahl der pro Woche verkauften Brötchen duch die Funktion f mit f(x) = 2000*x*e-0,5x + 2500 modelliert werden. Hierbei ist x die Anzahl der Wochen seit Eröffnung der Bäckerei

a) Bestimmen Sie, in welcher Woche die meisten Bröchten verkauft werden

b) Mit wie vielen Brötchen pro Wochen kann man auf lange Sicht rechnen?

Nun, habe mich an a) gewagt, aber irgendwie macht mein Ergebnis nicht Sinn. Kann mir jemand den Rechenweg erläutern?

Mein Versuch: f(x) = 2000*x*e^-0,5x + 2500 = 2000* (1*e^-0,5x + -0,5e^-0,5x*x) + 2500 (hier habe ich die Produktregel angewendet)

                      f'(x) = 2000 * e^-0,5 (-0,5x + 1) + 2500

                    n.b. 2000 * e^-0,5 (-0,5x + 1) + 2500 = 0

                           e^-0,5 würde wegfallen, aber mit 2000* (-0,5x + 1) + 2500 = 4,5 würde ich ein ganz anderes Ergebnis rauskriegen, als in den Lösungen hinten im Buch (wo kein Rechenweg angeben ist) Kann mir das jemand erklären?

Comments

sicher, dass das richtig ist:
"2000*x*e-0,5x + 2500"

https://www.desmos.com/calculator/uxutri1j1x

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Falscher Gedanke von mir. Deswegen ein toller solider Kommentar

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@Anton: was spricht aus deiner Sicht gegen die Funktion?

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Keine Ahnung, wahrscheinlich raff ichs nicht.

https://www.desmos.com/calculator/ve0u8vnfjr

Was ist das, wie soll man das auf die Frage beziehen???

Graph für:$$ 2000x\cdot e^{-0,5x} +2500$$

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Anton, der Graph reicht von -12000 Wochen bis + 16000 Wochen...

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Für mich ist der Graph eine Ausgeburt der Hölle und keine Funktion, um Brötchenverkauf pro Woche zu beschreiben...

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Du musst sehr weit reinzoomen. Siehe meine Antwort/Kommentar.

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Google zeigt folgenden Graph an, der wie ich finde mehr sinn macht:

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Der Zoom macht mehr Sinn, aber ist dennoch der selber Graph

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Trotzdem eine komische Aufgabe...

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https://www.desmos.com/calculator/fcgvaai2jq

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Wie macht man das bei Desmos, dass die Achsen verschieden hohe Werte anzeigen?

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Ich habe die Einstellungen händisch unter "Graph Settings" (rechts oben) vorgenommen.

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Danke, das ist sehr gut zu wissen

Answer 1

Wenn du diese Funktion meinst:$$2000x\cdot e^{-0,5x} +2500$$ Dann so:

Ableiten kannst du mit der Produktregel:$$ (u\cdot v)'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x) $$ Hierbei sind:

u'(x)=2000

v'(x)=e^{-0.5x}*(-0.5)

Demnach gilt:$$ (u\cdot v)'(x)=2000\cdot e^{-0.5x}+2000x\cdot e^{-0.5x} \cdot (-0.5)$$ Das kann man noch vereinfachen zu:$$ f'(x)=-1000x \cdot e^{-0.5x} +2000\cdot e^{-0.5x}$$

https://www.desmos.com/calculator/njyn0uyhx3

Du kannst das e^{-0.5x} mit dem Satz vom Nullprodukt ausklammern, um die Nullstellen zu ermitteln:$$-1000x \cdot e^{-0.5x} +2000\cdot e^{-0.5x}=0$$$$ e^{-0.5x}\cdot (-1000x+2000) $$ e^{-0.5x} ist dann gleich Null. Mit dem Rest rechnest du weiter:$$ -1000x+2000=0  \quad |-2000 $$$$ -1000x+2000=-2000 |:(-1000)$$$$ x=2 $$

A: In der zweiten Woche werden die meisten Brötchen verkauft.

Answer 2

$$f(x)=2000\cdot x\cdot{e}^{-0,5x}+2500\\f(x)=2000\cdot(x\cdot {e}^{-0,5x})+2500\\f'(x)=2000\cdot (-0,5x\cdot {e}^{-0,5x}+{e}^{-0,5x})\\f'(x)=2000\cdot ({e}^{-0,5x }\cdot (1-0,5x))\\f'(x)=0\\2000\cdot {e}^{-0,5x }\cdot (1-0,5x)=0$$

Ich gebe erstmal den Graphen der Ableitung

~plot~ 2000*e^{-0,5x}*(1-0,5x) ~plot~

Man sieht, dass die Nullstelle bei 2 ist. Das kann man mit dem Newtonverfahren bestimmen, wobei es für mich keinen Sinn macht, da ich es graphisch lösen darf und es keine Zwangsaufgabe ist :)

EDIT: Man braucht kein Newtonverfahren, siehe Kommentarsektion. Danke an koffi123

Das heißt in der 2. Woche werden die meisten Brötchen verkauft.

Das muss man eigentlich noch mit der 2. Ableitung überprüfen. Versuch das doch mal. Wenn du fragen hast, dann frag.

Gruß

Smitty

Comments

Hier nochmal der Graph der Funktion. Du musst weit rein-/raus zoomen, um etwas erkennen zu können.

~plot~ 2000*x*e^{-0,5x}+2500 ~plot~

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Definitv wird hier kein newtonverfahren benötigt werden, sondern lediglich der Satz vom nullprodukt.

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Hast Recht, einmal (1-0,5x)=0 setzten und dann ist x=2

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Dass x=2 die Nullstelle der Ableitungsfunktion ist, sieht man vor allem am Funktionsterm, an dem Graphen sieht man eigentlich gar nichts und das Newton-Verfahren ist hier völlig fehl am Platze.

Answer 3

Stimmt die Funktion so ?

Comments

f ( x ) = 2000 * x *e^{-0.5*x} + 2500
f ´( x ) = 2000 * e ^{-0.5*x} - 1000.0 *x * e^{-0.5*x}

f ´( x ) = 0
x = 2 Wochen

b.)
lim x −> ∞ [ 2000 * x *e^{-0.5*x} + 2500 ] = 2500

Den Nachweis x *e^{-0.5*x} = 0
könnte ich auch noch erbringen

Bei Bedarf nachfragen.