Ableitung von f(x) = {(1+x)/(1-x)}^{x³}

Question

Ich bin gerade dabei, diese Funktion abzuleiten:

\( f(x)=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{x^{3}} \)

Ich habe bis jetzt die Quotientenregel angewendet und wollte nun die Kettenregel anwenden.

Die Formel ist ja g'(h(x)) * h(x).

Aber wie leite ich nun g(x) = x^{x^3} ab?

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte mit einer Erklärung.

Answer 1

Hallo,

um \(f\) abzuleiten, bietet es sich an, implizit die Ableitung zu bilden. D. h., du logarithmierst auf beiden Seiten, um den Term zu vereinfachen:$$\ln(f(x))=x^3\cdot \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$ Nun leitest du auf beiden Seiten nach \(x\) ab (auf der rechten Seite mit der Produkt- und Kettenregel:$$\frac{f'(x)}{f(x)}=3x^2\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)-\frac{2x^3}{x^2-1}$$ Anschließend noch mit \(f(x)\) auf beiden multiplizieren und du erhältst:$$\boxed{f'(x)=\left(3x^2\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)-\frac{2x^3}{x^2-1}\right)\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{x^{3}}}$$

Beide Graphen findest du hier (lila=Ableitung und blau= Ausgangsfunktion)

https://www.desmos.com/calculator/wdf8lwknib

Answer 2

Du kannst das Ganze mittels  logarithmische Differentation ableiten , siehe hier:

http://www.math-grain.de/download/m1/diff-r/ableitung/log-ableitung-1.pdf