Modellierung einer Marktanalyse: Maximaler Gewinn

Question

! Meine Zulassung zum Abitur hängt leider an folgender Aufgabe:

Eine Firma beauftragt vor der Einführung eines neuen Produkts ein Marktforschungsinstitut mit einer Marktanalyse. Es wird angenommen, dass die Anzahl n der pro Monat verkauften Stücke des Produktes nur vom Verkaufspreis x (in Euro) abhängt. Diese Abhängigkeit kann durch die Gleichung n(x)=2,025*10¹²*x^-4 beschrieben werden. Die Herstellungskosten seien k (in Euro je Stück).

Der Gewinn wird aus der Differenz der Einnahmen und der Herstellungskosten berechnet. Er hängt von den Herstellungskosten k und vom Verkaufspreis x ab. Diese Abhängigkeit wird durch die Funktion G_k mit G_k(x), x Element R, x>0, k Element R und k>0 beschrieben.

1. Stellen Sie eine Gleichung für die Funktion G_k auf.

2. Ermitteln Sie denjenigen Verkaufspreis x (in Abhängnigkeit von k), bei dem der monatliche Gewinn maximal ist, und geben Sie diesen Gewinn an.

3. Die Herstellungskosten k werden sich Voraussichtlich um 10% erhöhen. Berechnen Sie die prozentuale Veränderung des maximalen Gewinns, wenn die Herstellungskosten k ursprünglich 150 Euro betragen haben.

Answer 1

Wo liegen denn genau die Schwierigkeiten? Warum lieferst du selber gar keine Ansätze? Hast du wirklich noch nichts notiert gehabt?

1.

E(x) = n(x)·x = 2.025·10^12/x^3

K(x) = n(x)·k = 2.025·10^12/x^4·k

G(x) = E(x) - K(x) = 2.025·10^12/x^3 - 2.025·10^12/x^4·k = 2.025·10^12·(x - k)/x^4

Comments

Die Schwierigkeiten haben bei Aufgabe 1 schon angefangen, danke deswegen schonmal!

Und ja in der Tat hatte ich nichts notiert, weil ich keine Ahnung hatte wie ich auf die G(x) Funktion kommen sollte...

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Gewinn ergibt sich aus den Einnahmen minus den Ausgaben. Also Erlös minus Kosten.

Der Erlös wiederum ergibt sich aus der Verkaufsmenge mal dem Verkaufspreis.

Das sind aber eigentlich Dinge die der Lehrer mal kurz angesprochen haben sollte bevor er solche Aufgaben aufgibt.

Ansonsten lassen sich die Dinge natürlich auch auf Webseiten nachlesen.