Mittelwertsatz Integralrechnung Anwendung

Question

Seien n∈ℕ und a_1,...,a_n ∈ ℝ.Zeigen Sie, dass die Gleichung ∑ⁿ_k=1  a_k cos(kx) = 0 im Intervall [0,π] mindestens eine Lösung hat.

In der Aufgabenstellung steht auch dass ich den Mittelwertsatz der Integralrechnung benutzen soll als Hinweis.

Kann mir jemand erklären, um was für einen Aufgabentyp es sich hierbei handelt? Gibt es eventuell einen Wikipedia-Eintrag, der sich auf diese Art von Aufgabe bezieht? Mir fällt leider nicht ein, wie ich hier vorgehen soll.

Muss ich eventuell auf Monotonie oder Ähnliches achten?

Wäre über jeden Tipp erfreut.

LG

Comments

Die Aufgabe gehoert zum Typ: Erwerb von Problemloesungskompetenz. Da sollst Du zeigen, dass Du selber denken und die Sachen, die gerade in der Vorlesung besprochen wurden, auch zur Lösung konkreter Probleme verwenden kannst. Es handelt sich nicht um einen "Aufgabentyp" wie etwa Steckbriefaufgabe in der Schule, den man einfach so lange uebt, bis einem schlecht wird. Die Aufgabe ist mehr oder weniger einmalig, die kommt genau so nie wieder. Drum findest Du da auch bei Wikipedia nichts dazu.

Also: Da steht "Mittelwertsatz der Integralrechnung" als Tipp. Fuer den braucht man eine Funktion und ein Intervall. Schlag mal was vor. Wenn Du was hast, kannst Du einen Mittelwert ausrechnen. Danach sieht man hoffentlich weiter.

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Was mich irritiert ist, dass ich eine Summe gegeben habe. Wie gehe ich damit dann um?

Answer 1

 

schon vor längetrer Zeit habe ich über das ganze nachgedent.

  ( DerSüddeutsche hat nachgeDENKT, nicht nachgeDACHT.

   Dafür macht sich der Holländer GedACHTEN und keine Gedanken. )

   An sich ist ja der MWS wine aussage der Differenzial-nicht der Integralrechnung.  Wie weit ist F von HD entfernt; 60 kleine Männer? Kann das sein?

   Also bei exakt 60 min Fahrzeit spielt es keine Rolle, ob du Raser bist oder im Stau stecken geblieben bist;  irgendwo an der Strecke muss dein Tacho wohl oder übel exakt Tempo 6 0 anzeigen.

   Dies die Aussage des MWS .

   Nun hatte man das Problem, den ===> Hauptsatz der D&I zu beweisen:

   " Sei y = f ( x ) eine auf [ a ; b ]  stetige Funktion. Dann ist ihr unbestimmtes Integral gleich ihrer " Aufleitung "    F  (  x  )  ;  d.h.  F ( x ) ist differenzierbar auf [ a ; b ]  ,  und F ' ( b ) = f ( b ) "

    Unser klassener hoch verehelichter Prof " Lothar " begann seine Beweise immer mit dem Geflügelzitat

    " Wenn man schön wüsste, dass ... "

   Also wenn du schön wüsstest, dass der Hauptsatz wahr ist. Dann erfüllt das unbestimmte Integral doch sämtliche voraussetzungen, die unsereiner an den MWS stellt.  D.h. wenn ich das unbestimmte Integral von a bis x auswerten will, dann gibt es einen Mittelwert   x0 im Sinne des MWS , und zwar x0 = x0 ( a ; x )  , so dass

    

      x

     $      f  (  t  )  dt  =  (  x  -  a  )  f  (  x0  )    (  1  )

     a

     Man dreht jetzt den Spieß einfach um;  wenn du umgekehrt weißt, dass der MWS  erfüllt ist in der Form  (  1 )  , fällt es nicht mehr schwer, den Hauptsatz zu beweisen.  Freilich musst du Acht passen, dass du nicht zirkulär argumentierst; den MWS seiner seits musst du begründen aus allgemein anerkannten  Tatsachen über stetige Funktionen, ohne dabei in versteckter Form den Hauptsatz mit einzubeziehen.

   Zu mehr ist diese Aussage auch nicht nütze.

    Ja gut; du tust jetzt die dir gegebene Funktion f ( x ; k ) aufleiten.  Dann wendest du den üblichen  MWS  auf die so erhaltene Aufleitung an.

   Als Erstes wirst du fest stellen, dass deine Aufleitung das Randwertproblem befriedigt

     F  (  0  )  =  F  (  Pi  )  =  0      (  2  )

     D.h. hier gilt der  MWS  in der Form

     (E)  x0  |  F  (  Pi  )  -  F  (  0  )  =  0  =  Pi  f  (  x0  )    (  3  )

    Und ( 3 ) ist die Behauptung; der Integrand  nimmt auf besagtem Intervall eine Stullnelle an.

Comments

  x0 hängt aber i.A. von k so wie der Wahl der  a ( k ) ab

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 Psychologisch bist du auch nicht auf Zack.

   Mir ist noch nie aufgefallen, dass sich wiki überhaupt auf Aufgabenstellungen bezieht.

   Und die Aussage des  MWS  bezieht sich auch auf nicht monotone Funktionen  ( warum? )

   Insbesondere die periodischen Funktionen deiner Aufgabe sind nicht monoton.