n=1 ist wohl klar .
n ==> n+1 geht so:
$$\prod_{i=1}^{n+1}{(n+1+i)} =\prod_{i=1}^{n+1}{(n+1+i)} * (2n+2)$$
Indexverschiebung
$$=\prod_{i=2}^{n}{(n+i)} * (2n+2)$$
1. und letzten Faktor anpassen
$$=\frac{1}{n+1}\prod_{i=1}^{n}{(n+i)} *(2n+1)* (2n+2)$$
$$=\frac{2n+2}{n+1}\prod_{i=1}^{n}{(n+i)} *(2n+1)$$
$$=2\prod_{i=1}^{n}{(n+i)} *(2n+1)$$
Ind.annahme einsetzen
$$= 2*2^n\prod_{i=1}^{n}{(2i-1)} *(2n+1)$$
$$= 2^{n+1}\prod_{i=1}^{n+1}{(2i-1)} $$ Bingo!