Eine Gleichung mit Produkten

Question

Zeigen Sie für alle n ∈ N \ {0}:
Πni=1(n + i) = 2n · Πni=1(2i − 1).

hat jemand eine Idee wie ich das beweisen kann ?

lg

Comments

Die Formel, die es zu beweisen gilt, ist in der Darstellung so verunglückt, dass niemand antworten kann.

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Es soll wohl gehen um  ???:

$$\prod_{i=1}^{n}{(n+i)} = 2^n\prod_{i=1}^{n}{(2i-1)}$$

Answer 1

Mit vollständiger Induktion.

Answer 2

n=1 ist wohl klar .

n ==> n+1 geht so:

$$\prod_{i=1}^{n+1}{(n+1+i)} =\prod_{i=1}^{n+1}{(n+1+i)} * (2n+2)$$

Indexverschiebung

$$=\prod_{i=2}^{n}{(n+i)} * (2n+2)$$

1. und letzten Faktor anpassen

$$=\frac{1}{n+1}\prod_{i=1}^{n}{(n+i)} *(2n+1)* (2n+2)$$

$$=\frac{2n+2}{n+1}\prod_{i=1}^{n}{(n+i)} *(2n+1)$$

$$=2\prod_{i=1}^{n}{(n+i)} *(2n+1)$$

Ind.annahme einsetzen

$$= 2*2^n\prod_{i=1}^{n}{(2i-1)} *(2n+1)$$

$$= 2^{n+1}\prod_{i=1}^{n+1}{(2i-1)} $$   Bingo!