Feld eines Bauern einzäunen mit einem 100 meter langem Zaun und einer 40 Meter langen Mauer

Question

Ein Bauer will ein rechteckiges Feld mit einem 100 Meter langem Zaun abstecken. Es wird eine vorhandene Mauer von 40 Meter als Abgrenzung benutzt. Welche Abmessungen muss er wählen, damit Fläche maximal wird?

Kann mir jemand bitte helfen, mein Lösungsansatz hat nicht funktioniert.

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Wie lautet denn dein Lösungsansatz???

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Wäre interessant zu erfahren. Dann könnte man klären warum er nicht richtig ist.

Answer 1

Die größte Fläche wäre ein Quadrat mit der Seitenlänge von 35 Meter, da es aber ein Rechteck sein soll, beiben wir mal bei Meter, so wäre ein Rechteck mit 2 x 34 Meter und   2 x 36 Meter das gegebene.

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Wie soll es denn zu den 100m Zaun kommen bei deiner Lösung?

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2a+b=100

b=100-2a

ZF: A=a*b

A=a*(100-2a)=-2a^2+100a

A'=-4a+100=0

4a=100

a=25

b=100-2*25=50

U=2a+b=2*25+50=100

A=25*50=1250

Edit nach Hinweis vom Mathecoach. Da die Mauer nur 40m lang ist, ist das die Länge der einen Seite. Damit ergibt sich für die andere Seite (100-40)/2=30m.

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Wie kommst du auf 2a+b=100 ?

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Ich denke da liegst du verkehrt.

Zeichne es mal auf.

Ich komme auf a = 40 m und b = 30 m.

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@ Mathecoach

Ich komme auch darauf, wenn man davon ausgeht, dass der Zaun an beiden Mauerenden um 90° abbiegt.

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Ich glaube 90 Grad Winkel sind bei einem Rechteck üblich. Kann mich aber auch irren. Ich habe gerade die genaue Definition nicht zur Hand ;)

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Die Mauer hat nur 40m.

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Edit nach Hinweis vom Mathecoach. Da die Mauer nur 40m lang ist, ist das die Länge der einen Seite. Damit ergibt sich für die andere Seite (100-40)/2=30m.

Ich denke das langt nicht als Begründung.

Du solltest noch zeigen, das es auch keine größere Fläche gibt wenn du die Mauer als Teil des Rechtecks benutzt.

Also

U = a + (a - 40) + 2b = 100

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Wie kann man das zeigen? Verstehe deinen Ansatz nicht.

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Man kann doch die Mauer mit Zaun noch verlängern. Dann ist die Mauer nur ein Teil der Seite die insgesamt a Meter lang ist.

Dann brauche ich für die eine Seite mit Mauer halt nur (a - 40) Meter Zaun.

Verstehst du was ich meine?

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Ja gut, 40 Meter Mauer, 1 x 40 Meter Zaun  und 2 x 30 Meter Zaun, sind dann doch 140 Meter insgesamt, oder nicht?

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Ja verstehe. Das könnte sein. Da müsste man die Aufgabenstellung etwas kreativ interpretieren.

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@john: der Zaun soll 100m lang sein. Also 40+30+30=100.

Answer 2

Also ich komme auf das hier. Danach müssten sogar 5m Mauer abgetrennt und um 90° gedreht an einen der Mauerenden aufgestellt werden.

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Nice, das ist wohl die richtige Lösung.

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Nice, das ist wohl die richtige Lösung.

Ich denke nicht.

Also ich komme auf das hier. Danach müssten sogar 5m Mauer abgetrennt und um 90° gedreht an einen der Mauerenden aufgestellt werden.

Ich denke die Mauer umsetzen war nicht vorgesehen. Daher bleibt das bei 40 m und 30 m. Das hatte ich oben aber in deiner Lösung gesagt das du zeigen solltest das das keinen Sinn macht.

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So langsam geht mir die Puste aus. Ich weiß nicht wie man es zeigen kann. Ich würde auf die selben 35m kommen wie Hallo. Aber die sind ja offensichtlich falsch.

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Richtig. Es gibt nur das Randextrema.

Das hat man wenn die eine Rechteckseite eben genau so lang ist wie die Mauer. Nicht kürzer und nicht länger.

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Ok. Das es keine Lösung zwischen 40 und 50m geben ist ja klar. Aber wie zeigt man dass eine Lösung unter 40m nicht zu einem besserem Ergebnis führen würde?

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Dann ist diese Aufgabe meiner Meinung nach für eine Extremalrechnung ungeeignet, wenn man erwartet, dass etwas nicht abgetrennt werden soll. Nur ist dann der Gesamtumfang eben halt so gewählt, dass es rechnerisch nötig ist was abzutrennen, wenn man wirklich eine maximale Fläche haben will. Und wenn man es nicht tun will, dann braucht man auch mehr Zaun. Ab 120m Zaun hätte man nach obiger Rechnung dann sogar den Fall, dass beide Seiten exakt 40 m lang sind.

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Das ist eine ganz legitime Aufgabe. Ich habe ein Haus und möchte an einer Hauswand ein rechteckiges Gehege mit Zaun für meinen Hund abstecken. Nun habe ich gerade noch 100 m Zaun in meiner Garage.

Da ich selber keine Lust habe rumzuprobieren frage ich einen anerkannten Mathematiker auf einem Mathematikportal nach einer Lösung, wie ich meinem Hund ein möglichst großes Feld abstecken kann.

Und ich möchte bestimmt nicht hören das das nicht geht oder ich 5 m meines Hauses abreißen müsste und die Mauer versetzen muss um das hinzubekommen.

Auch möchte ich nicht hören das ich mir einen neuen Zaun kaufen muss weil das mit dem alten nicht geht.

Auch möchte ich nicht hören das man den Zaun auch kreisförmig legen kann.

Bei Extremwertaufgaben geht es darum unter bestimmten Voraussetzungen, die fest gegeben sind ein Extrema zu finden. Im Zweifel auch ein Randextrema. Und letzteres kommt auch sehr häufig in der Mathematik vor.

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Ok, einverstanden. Das habe ich wohl nicht bedacht. Aber ich muss gestehen, dass ich endlich mal eine Aufgabe zu Gesicht bekommen habe, wo Randextrema betrachtet werden müssen. Habe das zwar in der Theorie immer wieder gehört und gelesen, aber nie einen Bezug zu einem Beispiel finden können und war daher immer gewohnt, immer mit solchen zu rechnen, wo man immer schnell sehen konnte, wie die Maße gewählt werden konnten. Danke. :)

Answer 3

Also es gibt zwei Möglichkeiten

1.

U = a + 2b = 100 mit a <= 40 --> b = 50 - a/2

A = a·b = a·(50 - a/2) = 50·a - 0.5·a^2

A' = 50 - a = 0 --> a = 50

50 liegt nicht im Definitionsbereich damit ist hier a = 40 ein Randextremum.

2.

U = a + (a - 40) + 2b = 100 mit a >= 40 --> b = 70 - a

A = a·b = a·(70 - a) = 70·a - a^2

A' = 70 - 2·a = 0 --> a = 35

35 liegt nicht im Definitionsbereich damit ist hier a = 40 ein Randextremum.

Wir zeichnen die beiden Graphen der Fläche in Abhängigkeit von a in ein Koordinatensystem.

Hier kann man das Maximum recht gut sehen.

Comments

Kommentar hat sich erledigt.

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Ja du hast recht, so kann man es gut sehen. Da muss man aber echt erstmal drauf kommen.