Tangenten- und Normalenprobleme

Question

y=4x+2 ist die Tangente der Funktion

f(x)=ax^3+bx^2 bei x=1.

a) Wie lautet die Gleichung der Normalen von f bei x=1?

b) Bestimmen Sie die Gleichung von f(x).

Mein Ansatz:

zu a): Wenn wir bereits die Tangentengleichung inkl. die Steigung: 4x der gegeben haben, gilt

mt*mn=-1

4*mn=-1 /:4

mn=-1/4

Es gilt für lineare Funktionen: y=m*x+b

Mir fehlt aber der y-Wert? Ist der vielleicht y=6? Habe nämlich x=1 in die Tangentengleichung eingesetzt und dann entsprechend den y-Wert übernommen, weil die Tangentengleichung und die Normale im Berührungspunkt x=1 den gleichen Funktionswert y=6 besitzen.

Falls ja bin ich wie folgt vorgegangen:

6= -1/4*1 + n

<=> n=25/4

n(x)= -1/4x+25/4

bei der b)

hätte ich da die Werte x=1 und y=6 in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzen müssen?

Answer 1

Du setzt x=1 in die tangentenfunktion ein und bekommst y=6. dann

y-y_(1)=-1/4*(x-x_(1))

y=-1/4*(x-1)+6

  =-1/4*x+1/4+6

   = -1/4*x+6,25

b) mit 1 und 6 wirst du nur einen der beiden Koeffizienten herausbekommen. Den zweiten bekommst du in dem du die Ableitung der Funktion bildest, die Stelle 1 einsetzt und für f'(1) die Steigung der Tangente einsetzt, also 4.

Comments

Also stimmt mein Ergebnis?

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Ja bei a stimmt dein Ergebnis.

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"b) mit 1 und 6 wirst du nur einen der beiden Koeffizienten herausbekommen."

Meinst Du damit, dass ich entweder nur den Koeffizienten a oder b erhalte?

Wenn ich die zweite Ableitung bilde, hätte ich den Fall:

f'(x)= 3a^2+2b

f'(1)=?

meine Fkt.ist doch von x abhängig, oder?

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Du setzt 1 und 6 in die Funktion ein und bekommst eine Gleichung mit a und b. Dann setzt du 1 und 4 in die Ableitung ein und bekommst eine zweite Gleichung mit a und b. Löse anschließend das Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten (a,b) mit einem Verfahren deiner Wahl.

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lautet die gleichung:

f(x)= -8x^3+14x^2

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ja das ist richtig!

Answer 2

Hier meine Berechnungen.
Der Punkt ( 1 | 6 ) liegt auf der Tangente,
der Normalen und der Funktion f.

Comments

wie komme ich auf die Ergebnisse von a und b? ich muss da doch ein Gleichungssystem aufstellen oder? Und mit welchen Verfahren löst man das ?

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Soweit solltest du sein
a + b = 6  | * 3
3a + 2b = 4

3a + 3b = 18 
3a + 2b = 4 | abziehen
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1b = 14

a + b = 6
a + 14 = 6
a = -8