Eigenvektor/Eigenwert

Question

ich habe folgendes Problem:

Sei f eine lineare Abbildung eines K-Vektorraums in sich(Endomorphismus), für die es einen Vektor v ungleich Null gibt mit f(-v) = k*v.

Behauptung: Dann ist:

a)-v ein Eigenvektor zum Eigenwert +k.

b)+v ein Eigenvektor zum Eigenwert -k.

c)-v ein Eigenvektor zum Eigenwert -k.

d)+v ein Eigenvektor zum Eigenwert +k.

e)k=0

Richtig oder falsch?

Als Lösung ist angegeben, dass b und c richtig sind, somit also a,d und e falsch.

Warum ist dies so?

Es muss doch gelten, dass f(v)=k*v mit v ungleich 0.

Ich hatte die Aufgabe so gelöst, dass a und b richtig seien.

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Hi, $$ f(-v) = -f(v) = k v $$ also $$  f(v) = -k v $$ somit ist [b) richtig.

Weiter $$ f(-v) = k v = -k (-v) $$ also ist (c) richtig.

Comments

Danke für deine Antwort, aber:

Worin besteht nun der Unterschied zum Beispiel bei a und c? Warum ist a falsch?

Es heißt ja v sei ein Eigenvektor zum Eigenwert k, falls gilt f(v)=k*v.

Irgendwie sehe ich aber den Unterschied nicht, warum das eine falsch und das andere richtig seien soll.

Mein Gedanke zu a ist folgender:

Sei also -v der Eigenvektor zum Eigenwert k.

f(-(-v))=f(v)

=> f(v)=k*v.

Warum ist a dann falsch?

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$$ f(v) = k v   $$ ist nicht vorausgesetzt sondern nur $$  f(-v) = k v $$