Untersumme berechnen? Wie geht das?

Question

Hallo gegeben ist:

-0,25x^2+5 = g(x)

Die Untersumme U4 soll im Intervall von I (0;3) berechnet werden.

Ich hab die Antwort zwar vor mir liegen, jedoch verstehe ich diese nicht.

Warum fängt man mit:

3/4 * g(1*3/4) ... an und endet mit 3/4*g(4*3/4) ?

Es müsste doch 3/4 * g(0*3/4) ... an und endet mit 3/4*g(3*3/4) sein oder nicht?

Kann mir das jemand ausführlich erklären?

!! :)

Comments

 Hier noch meine Zeichnung.

---

Mir fehlt die Angabe von Δ x = Balkenbreite.
Je nach Δ x ergibt sich eine andere
Untersumme.

---

Gesucht ist \(U_4\). Gegeben ist \(I\). Damit sollte die Balkenbreite feststehen.

---

Bei U4 werden 4 Balken eingezeichnet. D.h. man teilt das Intervall in 4 Teile und bekommt Δx = 3/4.

---

Delta x ist 0,75. :)

Warum ist es aber am Anfang g(3/4*1)..

Hat jemand vielleicht eine Erkältung zu dieser Aufgabe?

Answer 1

Nimm mal die Höhe des ersten (linken) Balkens. Welchem Funktionswert entspricht die Höhe. Dem Funktionswert an der Stelle g(0) oder der Höhe an der Stelle g(3/4). Das Beantworten dieser Frage führt unweigerlich zum gewünschten Aha-Effekt.

Comments

Ich habe es leider immer noch nicht ganz verstanden. :(

---

Wie hoch ist dein linker Balken ?

Was ist der Funktionswert g(0) und was ist der Funktionswert g(3/4)?

Das sind 3 einfache Fragen die du beantworten kannst. Erstere eventuell nur näherungsweise aus der Skizze.

---

Höhe: 4,85

g(0)=5

g(3/4)=4,85

---

Und fällt dich nichts auf?

Die Balkenhöhe entspricht genau g(3/4) ... Aha

Und g(0*3/4) wäre ja g(0) also verkehrt.

---

Was genau bedeuten die einzelnen Werte in 3/4* g(1*3/4)?

Das 3/4 am Anfang ist ja die Breite und der Rest?

---

g(1*3/4) = g(3/4) = 4.85 ist die Höhe des Rechtecks.

Die Fläche das Rechtecks berechnet sich aus

A1 = g * h = 3/4 * g(3/4)

Das nächste Rechteck dann

A2 = g * h = 3/4 * g(2 * 3/4)

---

Ahaaaaa!!!!! :) vielen Dank!!!!

---

Wie würde die komplette Lösung dazu aussehen? Scheint, als ob ich das immer noch nicht ganz verstanden habe.

---

Ich verstehe nicht, warum es bei f(x)=x+1 bei f(0) anfängt und bei dieser Aufgabe bei f(1)?

---

Das hängt davon ab, ob die Funktion monoton steigt oder monoton fällt.

---

Und inwiefern?

---

Bei der ersten Skizze wird die Höhe
" des ersten Untersummenbalkens "
von f ( 0 ) bestimmt

Bei der zweiten Skizze wird die Höhe
" des ersten Untersummenbalkens "
von f ( 1 ) bestimmt

---

Hallo georgborn,

Vielen Dank für die Antwort. :)

Warum berechnet man es bei dem einen von f0 und vom anderen bei f1?

---

unglücklichsterweise hast du meine Antwort
trotz Begründung und Skizze nicht verstanden.

Wenn ich im ersten Beispiel f ( 1 ) genommen
hätte dann hätte der Balken die Höhe f(1).

Dann gehörte der ersten Balken zur Obersumme.

Du kannst einen ersten Balken mit der Höhe f(1)
ja einmal einzeichnen.

---

Ich hab’s leider immer noch nicht verstanden. Ich kann wirklich alles in der Mathematik verstehen - das ist wirklich das erste Mal, wo ich so viele Probleme habe. Könnten Sie es mir möglicherweise komplett erklären?

---

In meiner 1.Skizze
Wie hoch ist die linke Höhe des ersten Balkens
f ( 0 )  = 4 Kästchen
Wie hoch ist die rechte Höhe des ersten Balkens
f ( 1 )  = 6 Kästchen

Welche Höhe wird zur Berechnung der Fläche
des ersten Untersummenbalkens angenommen :
4 Kästchen oder 6 Kästchen ?

---

4 Kästchen, oder?

!

---

Richtig. Das ist f ( 0 ).

Welche Höhe wird in der 2.Skizze angenommen.
f ( 0 ) mit 5 Kästchen
oder
f ( 1 ) mit 3 Kästchen

Antwort
f ( 1 ) mit 3 Kästchen.

Für den Trapezbalken wird für die Untersumme
immer die niedrigste Höhe ( links oder rechts )
eingesetzt.

---

Um ehrlich zu sein, habe ich das irgendwie immer noch nicht verstanden. Ich weiß echt nicht, was mit mir los ist.

---

Ich hatte es dir doch auch schon in der anderen Frage geschrieben.

Hast du eine mononton steigende Funktion (Ich hoffe du weißt was das ist. Wenn nicht schau mal im Internet nach), dann ist der Funktionswert am rechten Balkenrand größer gleich dem am linken Rand und die Untersumme berechnest du mit dem Funktionswert am linken Rand.

Hast du eine mononton fallende Funktion, dann ist der Funktionswert am rechten Balkenrand kleiner gleich dem am linken Rand und die Untersumme berechnest du mit dem Funktionswert am rechten Rand.

f(x) = x^2 ist im Intervall [a ; b] mit 0 ≤ a < b mononton steigend und du berechnest die Untersumme immer am linken Balkenrand. Ebenso würdest du die Obersumme am rechten Balkenrand berechnen.

Und jetzt setzt dich mal hin und berechne ein Paarmal die Untersumme und Obersumme an ein Paar Probeaufgaben.

Lernen tut man meist wenn man es Praktisch übt und nicht wenn man sich die Theorie durchliest.

Berechnen Sie die Untersumme s und die Obersumme S für die Funktion f(x) = x^2 + 1 auf dem Intervall [1; 4]. Teilen Sie das Intervall in 3, 6, 10 und n gleich große Teile auf. Bilden Sie bei
n Rechtecken den Grenzwert für n --> ∞.

---

Das heißt praktisch, dass man die Obersumme für die untersumme berechnet, wenn die Funktion monoton fallend ist?

Answer 2

g ( x ) = -0,25x^2+5
Dann kehren wir einmal zu deiner Ausgangsfrage
zurück.

Du hast in deiner Grafik die Balken schon richtig eingezeichnet.

Gefragt ist die Summe der Balkenflächen ( Untersumme )

Die Strecke von 0 bis 3 soll in 4 Bereiche unterteilt
werden. Damit hat jeder Balken die Breite 3 / 4 = 0,75.

Die Ränder der Balken sind  x = 0,  0.75,  1.5, 2,25
und 3. Und jetzt rechne bitte die Funktionswerte aus.
g(0) = -0.25 * 0^2 + 5 = 5
g(0.75)  = ?
und stelle deine Ergebnisse hier ein.

Comments

G(0,75) = -0,25^2 * 1 + 5 = 4,375

So richtig?

---

Alle Funktionswerte ausrechnen.

---

Wäre es so nun richtig?

---

Alles völlig falsch.
Vielleicht machst du zur Abwechslung
einfach nur das was ich sage.

g ( x ) = -0.25 * x^2 + 5
g ( 0.75 ) = -0.25 * 0.75 ^2 + 5
g ( 0.75 ) = 4.86

Alle Werte berechen
Die Ränder der Balken sind  x = 0,  0.75,  1.5, 2,25
und 3

Sonst nichts

---

Alles klar! :)

---

Bingo.
Wie ist die Höhe des Untersummenbalkens
der komplett in das erste Feld passt ?
( siehe deine Skizze in der Frage an ).

---

Die Höhe beträgt 4,85 (4,86).

---

Bingo.
Die anderen Höhen sind
4.85  4.44  3.73  2.75
mal Balkenbreite ergibt die Fläche
4.85 * 0.75
alle
4.85  * 0.75 + 4.44 * 0.75  + 3.73  * * 0.75  + 2.75 * 0.75
11.83 FE

---

Perfekt!! Vielen Dank ich habe es verstanden!!

Ich habe noch eine Frage :) Die Formel mit dem Summenzeichen, die ich benutzt habe, hat ja nicht die richtige Antwort überliefert.. Wissen Sie vielleicht, was daran falsch war?

N=5

B=3 und A=0

---

Die Formel ist meiner Erachtens nach richtig. Mache ich etwas anderes falsch?

---

Du hast deine Funktionswerte zunächst
völlig falsch berechnet
Richtig.
g ( x ) = -0.25 * x^2 + 5
Falsch
g ( x ) = -0.25 * (x * 0.75 ) ^2 + 5
Alles weitere sind Folgefehler.

---

Damit ich sehe ob du jetzt rechnen kannst.
Bitte die Obersumme berechnen.

Flächenberechnung
g ( x ) * 0.75
nicht
g ( x * 0.75 )

---

Warum kommmt bei dem Ergebnis der Summe 13,5234 FE heraus? Ist etwas an der Formel falsch?

---

Deine Summenformel schaue ich mir nicht
weiter an da die Berechnung einer Fläche
schon falsch ist.

---

Ach okay! Ich habe den Fehler jetzt bemerkt!

Die Obersumme ist 13,5 FE!

Das heißt, dass die Summenformel zwar richtig ist und an sich auch richtig eingesetzt wurde, ich jedoch die Obersumme anstatt der Untersumme berechnet habe!

---

Vielen Dank für die großzügige Hilfe!! Sie haben mir echt weitergeholfen!!!

---

Meine Summenformel kann ich doch eigentlich auch für U60 benutzen, oder?

Hier müsste ich dann n mit 60 ersetzen.

https://www.mathelounge.de/542902/wie-kommt-man-von-der-untersumme-u5-zu-u60