Achsen-Scheitel-Form durch quadratische Ergänzung

Question

f(x)=a*x^2*+b*x+c

durch Ausklammern :

f(x)=a*[x^2+b/a*x+c/a]

durch quad ergänzung

f(x)=a*[x^2+b/a*x+b^2/4a^2-b^2/4a^2+c/a]

Wie ist mein Buch darauf gekommen?

mfg, danke im voraus

Answer 1

Hi,

Du meinst die quadratische Ergänzung?

Hier hast Du zuallererst

x^2+b/a*x    + c/a

Wenn man sich nun die binomische Formel in den Kopf ruft, so lautet diese r^2+2rs+s^2 = (r+s)^2

Wir können nun r = x identifizieren, wie eben dann auch x^2 = r^2

Wenn wir uns dann den zweiten Summanden b/a*x anschauen und diesen mit 2rs vergleichen, dann können wir x und r ignorieren und den Rest anschauen. Es sollte dann gelten:

b/a = 2r --> r = b/(2a)

Folglich ist r^2  b^2/(4a^2)

Wenn wir nun ergänzen, dann nur so, dass wir an der eigentlichen Aussage nichts verändern. Deswegen addieren wir eine 0.

x^2+b/a*x  +  0   + c/a = x^2+b/a*x  +  b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2)  + c/a

Nun haben wir geschickt ergänzt und können die binomische Formel verwenden:

(x+b/(2a))  - b^2/4a^2 + c/a

(Und eben den Faktor a, den Du ausgeklammert hattest)

Alles klar?

Grüße

Answer 2

x´2 + b/a * x  + c/a
Merken
Die quadr.Ergänzung ist
die Hälfte des Koeffizienten von x zum Quadrat
b/a  =>  [ b/(2a) ] ^2 = b^2 / (4a^2)

Comments

Dann machen wir den Rest auch noch
f(x)=a * [x^2+b/a*x+b^2/(4a^2) -b^2/(4a^2)+c/a ]
f(x)=a * [x^2+b/a*x+b^2/(4a^2) ] -a * b^2/(4a^2) + a *c/a
f(x)=a * [x^2+b/a*x+ (b/(2a))^2 ] - b^2/(4a) + c
f(x)=a * ( x + b/(2a) )^2 - b^2/(4a) + c
S ( b/(2a) | - b^2/(4a) + c )