Zu a) Die Gestalt der Inversen A ^ - 1 ist dir bereits vorgegfben. Alles was von dir verlangt wird, ist die reine Fleißarbeit, per Matrizenmultiplikation ( " Matmul " ) zu zeigen
A ^ - 1 A = 1| ( 1 )
Gleichwohl will ich dich aber nicht dumm sterben lassen; wie berechnet man die Inverse einer 2 X 2 Matrix?
" Unn da stellermer oons janz domm, unne sagemer so: "
JEDE MATRIX LÖST IHRE EIGENE SÄKULARDETERMINANTE ( SD ) .
Für diagonalisierbare Matrizen folgt das ja trivial; aber es gilt eben allgemein. Und wie man die SD einer 2 X 2 Matrix bestimmt, das wird in den Büchern eben auch immer so Mega kompliziert erklärt. Wir machen den quadratischen Ansatz
f_A ( x ) = x ² - p x + q ( 2a )
Und was ist p und q ? Vieta das geschmähte Stiefkind; mit den beiden Eigenwerten ergibt sich
p = E1 + E2 = Sp ( A ) = a + b ( 2b )
q = E1 E2 = det ( A ) = a b ( 2c )
f_A ( x ) = x ² - ( a + b ) x + a b ( 3a )
Jetzt ganz frech Matrix A einsetzen in sein Eigenwertpolynom
A ² - ( a + b ) A + a b * 1| = 0 | * A ^ - 1 ( 3b )
A - ( a + b ) * 1| + a b A ^ - 1 = 0 ( 3c )
Jetzt alles nach der Inversen umstellen
A ^ - 1 = ( 1 / a b ) [ ( a + b ) * 1| - A ] ( 4 )
Zugegeben; es ist ein bissele tricky. Aber ich halte es für eine gute Übung nachzurechnen, dass ( 4 ) mit der Vorgabe von Herrn Professor überein stimmt.
So; jetzt kennste wenisten ein Kochrezept, um dir deine Inversen selber zu schnitzen.
Zu b) ; du das ist Faust dick aufgetragen. Schauen wir uns doch mal diese A_Matrizen näher an:
a1 c1 a2 c2
A1 = 0 b1 ; A2 = 0 b2 ( 5 )
Die Spalten einer Matrix sind doch die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren. Und gleich Einheitsvektor e1 stellt sich heraus als GEMEINSAMER EIGENVEKTOR dieser ganzen Matrizenschar. So hat A1 Eigenwert a1 und Matrix A2 Eigenwert a2 . Dann folgt aber trivial für A3 := A1 A2 der Produkteigenwert E_A3 = a3 = a1 a2 .
MEHR IST NICHT ZU ZEIGEN ; denn c1 und b1 waren ja als ganz beliebig angenommen - eine gegenseitige Abhängigkeit dieser Matrixelemente besteht nicht .
Was bleibt noch unter c) zu beweisen? Abgeschlossenheit hatten wir eben schon. Die Einheitsmatrix ( neutrales Element ) bekommst du für a = b = 1 ; c = 0
Dass jedes A eine Inverse hat, wissen wir auch schon. Streng genommen ist noch zu zeigen, dass A ^ - 1 € M . doch das erledigt sich von Selber; wenn alle Matrizen der Schar den selben Eigenvektor haben, trifft dies auch zu auf ihre Inversen; und der Eigenwert der Inversen ist das Reziproke.
