Ihr kennt mich ja; das Beste ist mir nie gut genug. Ich will euch erzählen, warum mir hier nochwas eingefallen ist.
Das Extremwertproblem, aus einer zuläsigen Klasse von Körpern mit gegebenem Volumen denjenigen mit der kleinsten Oberfläche zu ermitteln, bezeichne ich als das Volumenproblem dieser Klasse. Setzt man den Lagrangeformalismus ein, so folgt trivial, dass das reziproke Problem, aus allen Körpern mit gegebener Oberfläche denjenigen mit größtem Volumen zu ermitteln, auf die identische Lösung führt.
Ihr wisst um die Bedeutung von Symmetrien bei der Lösung matematischer Probleme; hier eine kleine Anekdote über die beiden Riesen der QM ===> Erwin Schrödinger und ===> Eugen Paul Wigner.
S. und Wigner tragen einen edlen Wettstreit aus, die Berechnung von Atomorbitalen. S. schwört auf seine ===> Wellenfunktionen und benötigt einen Tag. Wigner, der Symmetrie-Überlegungen den Vorzug gibt, löst das Problem in 5 min ...
S. fordert Revanche; eine Klasse schwieriger. S. benötigt eine Woche, dagegen Wigner mit seinen Symmetrien nur einen Tag.
Aller guten Dinge sind drei; das dritte Problem erwies sich als der Art schwierig, dass Wigner einen Monat benötigt. Als Wigner die Lösung vorlegt, wirft S. entnervt das Handtuch ...
Ihr ahnt es sicher schon; hier soll es gehen um die Anwendung von Symmetrien bei der Lösung von Volumenproblemen. Ihr wisst, dass man zitieren muss und was den Leuten passiert, die fremde Ideen als ihre eigenen ausgeben. Um so erstaunter war ich, dass ich hier immer wieder Hinweise erhielt, ich solle lieber zu wenig zitieren als zu viel; schließlich seien Zitate nicht Bestandteil der Lösung einer Aufgabe.
Da gibt oder besser gab es ein Portal - nennen wir es mal " Pipapo " Weil den wirklichen Klarnamen lässt dieser Editor nicht durch. Ich muss da auch sehr aufmerksame Leser haben; denn wann immer ich besagten Namen mit Zwischenraum schreibe, so dass der dumme Editor es nicht erkennt. Bekomme ich Kommentare von gewissen unaus- äh unwiderstehlichen Herren, ob ich sie denn durchaus erzürnen wolle. Ja was denn so schlimm sei an Pipapo. Antwort: Ich betriebe Schleichwerbung. Schleichwerbung für ein fossiles Portal ...
Pipapo hatte etwas von einem Brainstorming; es war deshalb gut, weil du da laut denken konntest. Ob zum Beispiel ein matematischer Lösungsansatz professionell oder laienhaft war; ob die Lösung einer Hausaufgabe einen Lehrer überzeugen konnte - das intressierte die Moderation kein bisserl. Die Wahrheit ist: Bei denen hab ich mehr Mathe gelernt als hier.
Ja und eines Tages stand eben das Volumenproblem der Bushaltestelle im Netz. Ich möchte doch im Sinne einer Klärung einige Bezeichnungen fest legen. Wir gehen aus von einem cartesischen Achsenkreuz xyz . Dabei verläuft die Abszisse x parallel zur Straße, die Ordinate z zeigt vertikal gen Himmel, und y deutet in die Tiefe .
Ich erhielt einen Kommentar von einem Genie, dessen Name mir längst entfalölen ist:
" Gesetzt einmal, das Volumenproblem des Quaders wird durch den Würfel gelöst. "
Was übrigens stimmt; die Rechnung verläuft ganz analog ( 1.1a-7 ) Nur eben; ein Quader ist symmetrisch. Hier sind die drei Veränderlichen x , y und z gleichberechtigt; da erwartest du ja sxhon das Ergebnis x = y = z .
Dagegen bei Schuhkarton ( so wie oben ) und Bushaltestelle fehlen ja bestimmte Wände, was die Rechnung sehr erschwert. Und hier nun wurde mir der Einsatz einer Symmetrie vorgeschlagen:
" In die vorne offene Seite der Bushaltestelle ( xz-Ebene ) setze ich den Spiegel S1 ein. Sei B =: B1 die Bushaltestelle; ihr Spiegelbild B2 ist ja zu ihr kongruent.
Hernach lasse ich den Spiegel S2 in die Bodenfläche ein ( xy-Ebene ) ; dieser erzeugt von B das Spiegelbild B3 .
Jetzt entstehen aber auch Spiegelbilder der beiden Spiegel. Das Bild von S1 in S2 bezeichne ich mit S1 ' ; und S1 ' erzeugt von B3 das Spiegelbild B4 .
Analog entsteht S2 ' ; wir müssen aber beachten, dass das Bild von B2 in in S2 ' identisch ist mit B4 .
Summa summarum schließen sich B1;2;3;4 zu einem geschlossenen Quader Q . Da ja alle Bilder kongruent sind, ist die Oberfläche von Q das 4-fache der Bushaltestelle; entsprechend für das Volumen von Q .
Das Volumenproblem von Q ist äquivalent der Bushaltestelle.
Q können wir aber lösen. Welche Kanten hat Q? x , 2 y so wie 2 z ; der Faktor 2 kommt jeweils durch die Spiegelung herein.
Wann ist Q ein Würfel?
x = 2 y = 2 z ( 2.1 )
Was mich so auszeichnet; niemand hört zu. Kennst du die ===> Kaffeekantante?
" Was ich immer alle Tage
Meiner Tochter Lieschen sage
Gehet ohne Frucht vorbei. "
Ich hab mir's zu Herzen genommen; bei normalen Schulaufgaben so wie hier kommst du durchaus mit einem Spiegel hin.
Es ist genau wie Schrödinger und Wigner. Und? Wenn ich mich zufällig verrechnet habe?
Und jetzt legen wir den Spiegel oben auf den Schuhkarton; unsere Achsen sind x , y und 2 z . Aber wie berücksichtigen wir die Kosten?
Vielleicht so. Lass doch x-und y-Achse mit ihrer natürlichen Teilung; dagegen auf z führen wir den neuen Maßstab ein
z ' := b z / a ( 2.2 )
Dann sehen wir direkt an dem Materialverbrauch der vertikalen Wände, " wo unser Geld bleibt "
Doch halt; stimmt dann unser Volumen noch? Aktion Radio Erivan
" Im Prinzip ja. "
Denn vor alle zugelassenen Quader tritt doch nur der konstante Faktor b / a
x = y = 2 z ' = 2 b z / a ( 2.3 )
in Übereinstimmung mit ( 1.7 )
