Zeigen oder Widerlegen: lineare Abbildung stetig

Question

Zeigen oder widerlegen Sie, dass die folgenden linearen Abbildungen F stetig sind:

a) F : C0([0,1],||·||sup)→R,f  →f(0).
b) F : C0([0,1],||f|| :=  1 |f|dx) → R,f  → f(0).
c) F : ({f ∈ C∞([0, 1]) | f(0) = 0}, ||f|| := ||f′||sup) → R, f  → f(1).

Hat jemand vielleicht irgendwelche Ansatzideen.. Ich komme nicht wirklich weiter.

Answer 1

Lineare Abbildungen sind genau dann stetig, wenn sie beschraenkt sind. Bei a) ist etwa zu diskuieren, ob es eine Konstante \(K\) mit $$|F(f)|\le K\lVert f\rVert_\infty,$$ d.h. $$|f(0)|\le K\lVert f\rVert_\infty,$$ gibt. Man kann offensichtlich \(K=1\) nehmen.