Sei \(\alpha > 0\) und \(f: [0, \infty) \to \mathbb{R}\) eine Funktion mit \( \displaystyle f(x) = \frac{1}{1 + x^{\alpha}} \) für \(x \in [0, \infty) \).
Frage: Für welche reellen Zahlen \( \alpha > 0 \) ist \( f \) konvex auf dem Intervall \([0, \infty)\)?
Ich präsentiere kurz meine Überlegungen. Zunächst die Definition von Konvexität: \( f \) ist konvex auf \([0, \infty)\), wenn für alle \( x, y \in [0, \infty) \) und alle \( \lambda \in [0; 1] \) gilt: \( f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \le \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)\).
Ich habe mit GeoGebra etwas herumprobiert und vermute, dass \( f \) nur für \( \alpha = 1 \) konvex ist und ansonsten eine Wendestelle in der Nähe (!) von \( x = 1 \) hat. Zum Beispiel hat \( f \) für \( \alpha = 7 \) eine Wendestelle bei \( x = \sqrt[7]{\frac{3}{4}} \). Aus der Definition erhalte ich folgende Ungleichung, die es dann für \( \alpha \neq 1 \) zu widerlegen gilt:
$$\frac{1}{1 + (\lambda x + (1 - \lambda) y )^\alpha} \le \frac{\lambda}{1 + x^\alpha} + \frac{1 - \lambda}{1 + y^\alpha}$$
Hier bin ich mit meinem Latein am Ende.
Ich freue mich über gute Ideen.
