Bogenmaß berechnen e^x + e^-x / 2

Question

ich habe die Funktion f(x) = (e^x + e^-x) / 2 für -2≤x≤2.

Ich soll die Länge der Kurve berechnen, die durch Funktion f gegeben ist.

Der erste Schritt war ableiten von f(x)

f'(x) = 1/2 * e^x - e^-x

Die Formel der Bogenlänge sieht wie folgt aus:

sqrt(1 + (f'(x))^x)

Nun habe ich f'(x) quadriert. Ich erhalte: 1/4 * (e^{2x}-e^{-2x})

Nun in die Formel eingesetzt sqrt(1 + (1/4 * (e^{2x}-e^{-2x})))

Stimmt dies bis hierher? Die Schwierigkeit die ich nun, habe ist: sqrt(1 + (1/4 * (e^{2x}-e^{-2x}))) zu integrieren.

Wäre Hilfreich, wenn mir jemand einen Rechenweg geben könnte mit Erklärung.

Freue mich über Antworten! (:

Answer 1

Und mit der Korrektur in der ersten Antwort kannst du nun auch

schön integrieren: Der Integrand ist

$$\sqrt{1+\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} }$$$$=\sqrt{\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4} }$$$$=\sqrt{\frac{(e^{x}+e^{-x})^2}{4}}=\frac{(e^{x}+e^{-x})}{2}$$

Eine Stammfunktion ist also

$$\frac{(e^{x}+e^{-x})}{2}$$

und damit ist die Bogenlänge ungefähr 7,25.

Könnte stimmen:

~plot~ (e^x+e^{-x})/2 ~plot~

Comments

Danke, für die Schnelle Antwort. Ich hätte noch ein paar Frage,

wohin verschwindet die 1 und wieso dreht sich von der -2 das Vorzeichen um zu einer +2? Hoffe es ist ok, das ich nachfrage.

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$$\sqrt{1+\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} }$$

$$\sqrt{\frac{4}{4}+\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} }$$

$$\sqrt{\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4} }$$

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Danke für die Gedankenstütze. Hätte noch ein aller letzte Frage, wohin verschwindet die +2 siehe Schritt sqrt((e^x+e^-x)^2/2)?

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binomische Formel angewandt.

Answer 2

bei dir stimmt die quadrierte Ableitung nicht. Sie soll lauten

$$ f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\f'(x)^2=\Bigg(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\Bigg)^2=\frac{e^{2x}-2\cdot e^{2x}\cdot e^{-2x}+e^{-2x}}{4}=\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} $$

Comments

Danke für den Hinweis. Wie komme ich auf das richtige Ergebnis, also wieso (e^{2x}−2⋅e^{2x}⋅e^{−2x}+e^{−2x}) / (4). :)

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Stichwort Binomische Formeln. Und dann mittels Potenzgesetze zusammenfassen.

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 Habe gerade auch selber Entdeckt Kettenregel sowie Quotientenregel.

Answer 3

y= cosh(x) =(e^x +e^{-x})/2

y '= sinh(x)

---->

I= ∫ (√(1+ sinh^{2}(x)) dx von -2 bis 2

I=2 sinh(2) ≈7.25