mathematische Beweise direkt und durch vollständige Induktion

Question

ich bräuchte Hilfe bei den folgenden mathematischen Beweisen:

1. Beweis für die Formel
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \quad \) mit \( n \in \mathrm{N} \)

a) direkt: gehe von \( \sum \limits_{k=1}^{n}(k+1)^{3} \) aus, zerlege das Binom und spalte in einzelne Summen.

gehe dann vom ursprünglichen Ausdruck aus und versuche auf die Form \( \sum \limits_{j=1}^{n} j^{3}+\operatorname{Rest} \) zu bringen.

b) beweis durch vollständige Induktion

2. Beweis das die Formel durch vollständige Induktion

\( n+\sqrt{n}<n * \sqrt{n} \)

für alle natürlichen Zahlen n > 2 wahr ist.

3. Beweis

\( 2 a b \leq a^{2}+b^{2} \quad a \epsilon R \) und \( b \in R \)

Comments

https://www.mathelounge.de/41017/beweise-die-formeln-durch-vollstandige-induktion-qn-2n-und

Answer 1

Antworten auf  (1b)  und  (3)  gibt es meines Wissens bereits im Forum.

Comments

(2)  Beweis durch vollständige Induktion über  n.
Induktionsanfang: Setze  n = 3. Offensichtlich ist  9 < 12.
Es folgt durch Wurzelziehen  3 < 2·√3. Daraus folgt  3 + √3 < 3·√3.
Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein  n > 2  für das die Aussage gilt.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass die Aussage für  n + 1  gilt.
Quadrieren zeigt, dass für alle  n > 0  gilt  √n + 1 > √(n + 1).
Nach Induktionsvoraussetzung gilt  n·√n > n + √n. Es folgt
n > √n + 1 > √(n + 1) ⇒ n + 1 > √(n + 1) + 1 ⇒ (n + 1)·√(n + 1) > (n + 1) + √(n + 1).
Daraus folgt die Behauptung.

(3)  Für alle  a,b ∈ ℝ  gilt  (a - b)² ≥ 0. Es folgt
a² - 2·a·b + b² ≥ 0 ⇒ a² + b² ≥ 2·a·b.