Symmetrische Differenz. Zeigen Sie ,dass (P(X),°) eine Gruppe ist

Question

Sei X eine beliebige Menge und P(x):= {A c X} die Potenzmenge von X, das heißt, die menge aller Teilmengen von X. Zu A,B in P(X) definieren wir die symmetrische Differenz als

             A ° B := (A\B) u (B\A)

Zeigen Sie ,dass (P(X),°) eine Gruppe ist.

Ich weiß zwar die eigenschaften einer gruppe ( assoziativ, neutrales Element, inverses Element), aber wie zeige ich das hier ?

Answer 1

assoziativ zeigst du so:

Prüfe, ob für je 3 Teilmengen  A,B,C von X gilt

(A°B)°C = A°(B°C)

Darauf wendest du einfach die Definition an :

(A\B) u (B\A) ) ° C  = A ° ( ( B\C) u ( C\B) )

und nochmal

((A\B) u (B\A) ) \ C )  u ( C \ ((A\B) u (B\A) ) = ( A \  ( ( B\C) u ( C\B) ) u (  ( ( B\C) u ( C\B) ) \ A )

und das jetzt nach den gängigen Gesetzen über die Mengenoperationen aufdröseln:

(A\B)\C u (B\A)\C  u ( C \ ((A\B) u (B\A) )  =    ( A \  ( ( B\C) u ( C\B) ) u (B\C)\A u (C\B)\A)

Nun gilt aber offenbar  (B\A)\C  = (B\C)\A     #

Also bleibt zu zeigen

(A\B)\C   u ( C \ ((A\B) u (B\A) )  =    ( A \  ( ( B\C) u ( C\B) ) u (C\B)\A)

Da wendet man erst mal de Morgan an:

(A\B)\C   u  ( C \ (A\B) ) ∩ ( C \ (B\A) )  =    ( A \ ( B\C)  ∩ ( A \ ( C\B) ) u (C\B)\A) )

Jetzt analog zu # und Schnittmenge mit sich selbst, ist die Menge selbst:

(A\B)\C   u  ( C \ (A\B) )  =   ( A \ ( C\B) ) u (C\B)\A) )

und analog zu # sieht man: Beides gleich.

Eine weitere Eigenschaft für eine Gruppe hast du noch vergessen, ist

hier aber klar:   Für jedes Paar A,B aus der Gruppe ist A°B auch wieder

aus ihr.

Neutral ist die leere Menge und das Inverse zu A ist  X\A.

Comments

Neutral ist die leere Menge und das Inverse zu A ist  X\A.

Bitte die Quelle dieses Satzes auf Glaubwürdigkeit überprüfen.

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A ° ∅ = ( A \ ∅ ) ∪ ( ∅ \ A)   = A  ∪  ∅   = A

Das klappt schon mal, und

∅ ° A = A wohl auch.

Bleibt das Inverse zu prüfen:   Fehler ! s. Kommentare !

A ° (X\A)  =   ( A \  (X\A)  ) ∪ (  (X\A)  \ A)

                =          ∅           ∪           ∅   =     ∅

Hab ich was übersehen, oder wie war der Kommentar gemeint ?

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Hab ich was übersehen ?

Offenbar ja (und zwar sogar ganz X), wenn du es nicht mit Absicht machst, um mir eine sinnlose Diskussion aufzuzwingen.

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Aha, jetzt verstehe ich.  Tut mir Leid, aber ich gehöre zu

den Menschen, denen auch schon mal Fehler passieren.

Dann ist das Inverse von A wohl wieder A selbst.

A°A = A\A u A\A = ∅