Äquivalenzrelation R auf M=[1,4] skizzieren

Question

:)

Ich habe eine Frage bzgl. einer Aufgabe. Diese lautet:

Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M=[1,4] mit den zugehörigen Äquivalenzklassen

{1,2,3}  ,     ]1,2[∪]2,3[     und    ]3,4].

Veranschaulichen Sie R in einer Skizze als Teilmenge von [1,4]×[1,4]. In der Skizze muss klar sein, welche Punkte zu R gehören und welche nicht.

Wie skizziert man dies nun? Was entspricht was und gibt es einen Trick?

Vielen Dank für die Hilfe :)

Answer 1

Eine Relation auf einer Menge M ist eine Teilmenge von MxM.

Durch eine Äquivalenzrelation wird dabei M in disjunkte Klassen

eingeteilt, die genau die Elemente enthalten, die mit einem (anderen)

Element der Klasse in Relation stehen.

Also gehören zu der Relation R die Paare deren Komponenten beide

in einer Klasse liegen, das wären

1. die aus  {1,2,3}  x {1,2,3}

2. die aus   (  ]1,2[∪]2,3[ )  x   ( ]1,2[∪]2,3[  )

 und 3. die aus      ]3,4] x   ]3,4]  .

Das erste sind im Koordinatensystem 9 Punkte

Das zweite ist das achsenparallel  Rechteck mit den

Ecken (1;2) und (2;3) ohne Strecken mit ganzzahliger

x oder y- Koordinate

und das 3. ist  das achsenparallele  Rechteck mit den

Ecken (3;3) und (4;4) wobei die rechte und die obere Seite

dazugehört und die linke und die untere nicht.

Answer 2

   Zunächst ein wort in  eigener Sache .  Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen  "  Hochpunkt "  statt Maximum  - ich kann es auch .

   Es heißt nicht  "  Äquivalenzrelation  "  , sondern Gleichheitsbeziehung  (  GB  )

   Entsprechend heißt es auch nicht Äquivalenz_sondern Gleichheitsklasse  (  GK  ) 

   Weißt du übrigens, wie Wetterauer Platt klingt?   Durch die klaschische Feuerzangenbowle leider nicht wieder  zu geben, weil  hier die vokale, vor allem das  "  A  "   so wie der Konsonant  "  R  "   als  ===>  allofone auftreten .

   " Deim Professer trettisch  voll in de Aaaasch .  "

   Weil du hast gelernt, dass jede GB eine  ===>  Partition induziert;  sie ist vor allem eines:  VOLLSTÄNDIG  :

   KEINE KLASSE DARF LEER SEIN .

   Beweis;  als Zeichen für die GB benutze ich mal   " ( = ) "    Axiom  1  ;  reflexiv

      x  (  =  )  x  ===>  x  €  [  x  ]         (  1  )

     Jedes Element liegt in seiner eigenen Klasse .  Nur weil deine Klasse 2 so schandbar leer ist .

   sieh's doch so. die GB ist eine  Verallgemeinerung der Identität .  Identisch sein kann ein element nur mit sich selber .  Aber äquivalent eben auch mit anderen;  und da wirkt es besonders absurd,  wenn Elemente zugelassen sein sollen, die nicht mal mit sich selbst äquivalent sind .

   Es soll ja Profs geben wie unseren Kerner, die echt was taugen.  Wir Physiker im 3. Semester waren ja schon reif, diszipliniert und gesetzt .  Dagegen  die Erstsemester, ausgerechnet Matematiker, warfen unentwegt Papüierschwalben auf das Kateder . Kerner

   "  Aaa bitt scheen .  Ii  hab eang scho oft g'sagt, ii hab zwei Kinder .  Weerfen's noo aan ... "

   " Herr Professor; Sie sprechen zu leise. Wir verstehen nochts. "

   " Nein nicht ich spreche zu leise.  Sondern Sie schwätzen zu laut.  Und wenn Sie stören, rede ich so lange leiser und immer noch leiser, bis Sie endlich den Mund halten ... "

   Kerners Hausaufgaben  hatten etwas Inspirierendes; es machte richtig Spaß, eine möglichst hohe Punktzahl zu erstreiten.

   An sich war ich ja Trittbrettfahrer der K_Gruppen;  diese hatten erstritten, dass Übungsscheine nicht mehr benotet werden dürfen und  die Teilnahme bei 40  % der Punktzahl  attestiert wurde - ich selbst kam nie über 60 hinaus .

    Ja und eines tages stellte Kerner folgende Aufgabe; keiner hatte sie richtig:

   " Jede Relation, die symmetrisch und transitiv ist, ist  auch reflexiv.   Beweis .

     x  (  =  )  y  ===>  y  (  =  )  x      (  Symmetrie  )         (  1  )

    x  (  =  )  y  ^  y  (  =  )  x  ===>  x  (  =  )  x    (  Transitivität  )      (  2  )

    Man zeige, dass SO WOHL DIE BEHAUPTUNG ALS AUCH IHR BEWEIS FALSCH SIND . "

   Irgendwo steckt da der Wurm drin -  aber wo genau?  Die äußerst überraschende Antwort, die fast einem Zaubertrick gleich kommt .  Es ginge sogar auf, wenn du nur anderweitig wüsstest, dass die Relation nicht leer ist ( wie unser Assistent bemerkte; genauer: Wenn du weißt, dass die x_Klasse nicht leer ist. )

   Denn bei Reflexivität und Transitivität  handelt es sich um typische " Wenn - dann " - Aussagen

    " Wenn das Wörtchen  ' Wenn '  nicht wär ... "

    die in keiner Weise erfüllt sein müssen .

    Dagegen Reflexivität versichert dir, dass ein ganz bestimmter konkreter Sachverhalt tatsächlich erfüllt ist .

   Oder so;  eine Aussage der Form  "  A  ===>  B  "    wie in ( 1;2 )  ist schon dann wahr, wenn die Voraussetzung  A  falsch ist .    Selbst wenn B falsch sein sollte . Und das ist der tiefere Grund, warum dich (  1;2 ) nicht berechtigen, auf die Wahrheit  von x ( = )  x zu schließen .

   Was habt ihr bloß für Professoren .

Comments

Zunächst ein wort in  eigener Sache .  Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen  "  Hochpunkt "  statt Maximum  - ich kann es auch .

Die ständige Wiederholung dieses Unsinns macht ihn nicht sinnvoller!

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  Oder so. Was haben Matematiker mit Juristen gemeinsam?  In den Hausaufgben kommt genau wie in Verträgen bürgerlichen Rechts viel klein Gedrucktes vor .

   Ich find das ganz witzig . Anfänger lesen ja typisch ungenau .  Und wenn so eine Aufgabe drei, vier, fünf Mal gestellt wird, weil die linke Hand nicht weiß was die rechte tut,  dann   gebe ich mich manchmal schon tiefer gehenden Gedanken hin, die mir also am ersten Tag nicht gleich sofort gekommen wären.

   Und dann denke ich oft: Mensch der Prof der alte Fuchs der verdammtze Hund.  Da im klein Gedruckten hat der also wirklich alles berücksichtigt -  geradezu göttlich unanfechtbar .

    Und dass Reflexivität  eben bewirkt, dass keine Klasse leer ist und die Partition vollständig .  Das ist so eine klein gedruckte Erkenntnis; das findet sich in keinem Lehrbuch erwähnt .  Da brauchst du schon den richtigen guru, der dir auseinander setzt, was das alles  BEDEUTET .  Warum dass die ganzen  Unitexte nunmal so geschrieben sind, wie sie sind und nicht irgendwie anders .