Zeigen, dass zwei Topologien gleich sind

Question

Ich will zeigen, dass zwei Topologien gleich sind:

X = R^2 mit d(x,y) = sqrt((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2) und d1(x,y) = max{|x1-y1| , |x2-y2|}

Ich muss also zeigen, dass O(d) ⊂ O(d') und umgekehrt.

D.h in jeder Kugel um x bzgl d steckt eine Kugel um x bzgl. d'.

Ich würde sagen, ich muss bloß zeigen, dass für Kugel mit ε mit d(x,y) < ε für x eine Kugel mit ε' mit d1(x,y) < ε' und

ε' - ε > o existiert und umgekehrt. 

D.h ich muss zeigen, dass d(x,y) - d1(x,y) > 0 und d1(x,y) - d(x,y) > 0 existiert, oder?

Ich bekomme das aber rein rechnerisch nicht hin ...

Answer 1

Ich muss also zeigen, dass O(d) ⊂ O(d') und umgekehrt.

Ja.

D.h in jeder Kugel um x bzgl d steckt eine Kugel um x bzgl. d'.

Was trivial ist, um jeden Kreis kann man ein Quadrat zeichnen (und umgekehrt).

Aber O(d) ⊂ O(d') sagt aus, dass jede bezüglich d offene Menge auch offen bezüglich d' ist. Mit anderen Worten: wenn Kreisflächen ohne Rand offen sind, warum sind dann Quadratflächen ohne Rand auch offen?

Tipp. Offene Mengen sind zwar bezüglich Durchschnitt von endlich vielen Mengen abgeschlossen, aber bezüglich Vereinigung von unendlich vielen Mengen.