Wie berechne ich Sattelpunkte einer Funktion?

Question

Ich habe folgende Funktion f(x) = x^5 - 4 und von dem möchte ich die Sattelpunkt(e) berechnen. Doch wie mache ich das am geschicktesten?

Ich kenne die Regel :

f‘(x) = 0

f‘‘(x) = 0

f‘‘‘(x) ≠ 0

Doch die versagt wenn mehrere Ableitungen im Spiel sind. Deshalb habe ich folgendes gefunden.

f^{(2n)}(x2) = 0 und f^{(2n+1)}(x0) ≠ 0, n € N

Das würde klappen :

f^{(0)}(x) = x^5-4

f^{(1)}(x) = 5x^4

f^{(2)}(x) = 20x^3

f^{(3)}(x) = 60x^2

f^{(4)}(x) = 120x

f^{(5)}(x) = 120

5x^4 = 0

x = 0

f^{(4)}(0) = 120 * 0 = 0

f^{(5)}(0) = 120 ≠ 0

Also S(0/-4)

Doch wie kommt man auf diese Formel ?

Comments

Tipp:

Vorzeichenwechselkriterium

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Doch wie kommt man auf diese Formel ?

Diese "Formel" ist eine Verallgemeinerung der von dir angeführten Regel. Hier die dazu passende Rechnung in Kurzform:

$$f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f^{(4)}(0)=0\ne 120=f^{(5)}(0)$$also liegt an \(x=0\) ein Sattelpunkt vor, da die erste von Null verschiedene Ableitung an dieser Stelle eine ungerade Ordnung (hier 5) hat.

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EDIT: @MatheLove

Mehrfachableitungen. Ich habe nun die Exponenten eingeklammert, damit klarer ist, dass du Ableitungen meinst.

 ^ { ( 5 ) }  für fünfte Ableitung [ ohne Abstand zwischen den Zeichen ] 

Ausserdem u durch ≠ ersetzt

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Perfekt, danke dir habe es grade gesehen.

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@Gast az0815

Also wenn alle drei Ableitungen 0 sind, dann kann ich also diese Feststellung nutzen? Dann wäre ja meine Aufgabe richtig gerechnet.

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Die ersten vier(!) Ableitung sind Null und die fünfte ist die erste, die nicht Null ist, und so steht es ja auch in deiner Rechnung oben. Aus diesen insgesamt fünf Bedingungen folgt, dass \(x=0\) eine Sattelstelle sein muss.

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Also die ersten vier, weil bei f^{4}(x) = 0 ist und f^{5}(x) ungleich 0 ist? Daraus baut also auch f^{2n}(x) und f^{2n+1})(x) , n € Z auf. Stimmt es so oder was ist noch falsch angenommen ?

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n ∈ ℕ \ { 0 } würde ich vorschlagen.

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Ich weiß ehrlich gesagt auch nicht warum ich Z geschrieben habe, anstatt N. Also n € N*,N⁺ oder N_>0. Passt das so?

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Wenn man über das Euro-Zeichen hinwegsieht, ja.

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Ich tippe auf mein Handy, meine Unicode App ist sehr umständlich zu bedienen, deshalb tippe ich so mathematisch unschön oder gibt es hier diese Zeichen?

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Beim Lesen stört das nicht, ich bin flexibel.

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Klicke auf Sym und du siehst:

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Wusste ich nicht, das ändert die Lage natürlich. Also für n ∈ ℕ_>0. Ich bin noch Schüler, ihr müsst mich entschuldigen wenn ich mich leihenhaft verhalte.

Answer 1

f(x) = 5x^{4}    → x_{1}=0

f^{2}(x) = 20x^{3}  → "

Da die zweite Ableitung auch Null ist, hilft hier nur das Vorzeichenwechsel-Kriterium. Setze nun -1 und 1 in die erste Ableitung ein:

f'(-1)=5

f'(1)=5

Es gibt keinen Vorzeichenwechsel, also liegt bei 0 ein Sattelpunkt vor.

f(0)=0^5-4=-4

S(0|-4)

Comments

Danke, aber wie komme ich auf die Formel? Irgendwann muss ich mich bestimmt mit komplizierteren Funktionen auseinandersetzen und da möchte ich mich mal dieser Formel widmen, aber verstehen ist besser als stures auswendig lernen. 2n ist ja für n € N gerade und 2n + 1 für n € N ungerade oder? Was soll mir dies sagen?

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Diese Formel habe ich leider noch nie in meinem Leben gesehen. Woher hast du sie? Dann kann ich mal drüber schauen!

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https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt

Ich finde diese Seite einfach am besten. Alles auf dem Punkt gebracht, ohne 1000 Ausnahmen, auch wenn man mehrmals darüber nachdenken muss.

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Lies dir mal den Satz untendrunter durch. Die Verallgemeinerung für das Kriterium ist richtig, aber hier haben wir einen Sonderfall nämlich, dass \(f'''(x)=0\) ist, weshalb wir das Vorzeichenwechselkriterium anwenden müssen!

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Du hast recht, habe ich nicht ganz verinnerlicht, aber bei meinem Beispiel wäre f^{(3)} auch null, deswegen habe ich mich an die Formel gewendet. Wann gilt die denn nun bzw. Kann ich das VZW immer anwenden und auch die Krümmung des Sattelpunkt ?

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@mathelove

Meinst du  f^{(3)} oder f^3 ? Dritte Ableitung oder f hoch drei oder eventuell x^3 ?

Kann ich das VZW immer anwenden und auch die Krümmung des Sattelpunkt ?

VZW-Kriterium ist ein Kriterium, das dir ohne langes hin und her eine Entscheidung ermöglicht.

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Die Formel gilt, wenn:

f''(x_{0})=0

f'''(x_{0})≠0

f'(x_{0})=0

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@Lu

Das sollte die höheren Ableitungen sein.

@racine_carrée

Ja, aber für was brauche ich dann die Formel? Wenn das gilt, dann habe ich ja den Sattelpunkt oder nicht? Mein Problem ist was soll ich tun wenn f‘‘‘(x) = 0 ? Ich hätte diese Bedingung genutzt oder liege ich falsch. Irgendwie habe ich grade ein Brett vorm Kopf.

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@Mathelove

Du musst so lange Ableitungen bilden, bis du einfach eine findest, die ≠0 ist. Wenn diese ungerade ist, so hast du einen Sattelpunkt!

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Könntes du vielleicht formal sagen, wann diese kann man überhaupt Formel sagen ? Sagen wir mal Feststellung gilt? Wenn ich f‘‘‘(x) ungleich 0 habe, dann passt alles. Deshalb gilt diese Feststellung für f‘(x) = 0 , f‘‘(x) = 0 , f‘‘‘(x) = 0. Müsste eigentlich oder? Das gleiche gibt es ja auch für ein Extremum, nur in einer anderen Konsistenz.

Answer 2

f ( x ) = x^5 - 4
f ´( x ) = 5*x^4

Stelle mit waagerechter Tangente
f ´( x ) = 0
5*x^4 = 0
x = 0

waagerechte Tangente :
Entweder
- Extrempunkt
oder
- Sattelpunkt

Nachweis ( eine Möglichkeit )
Steigung berechnen
steigend
f ´( x ) > 0
5*x^4 > 0
x^4 > 0
x > 0
x < 0
Sowohl links von x = 0 als auch
rechts von x = 0 ist die Kurve steigend.
x = 0 ist ein Sattelpunkt.

Comments

Danke, aber wie bekomme ich dann die Krümmung des Sattelpunkt heraus? Vielleicht f^2(x)?

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Sattelpunkt
- Steigung 0
- Krümmung 0
f ´´ ( x ) = 20*x^3
20*x^3 = 0
x = 0
Bei x = 0 ist die Krümmung 0.

Ich muß jetzt aber gerade einmal nachschauen
unter " Flachpunkt ". Das könnte hier auch
vorliegen.

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Oh nein, noch was neues was man beachten muss. Was ist das?

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Flachpunkt kannst du dir bei Wikipedia ja
einmal anschauen. Kommt aber nur so häufig
vor wie ein Schneetreiben mitten in der
Sahara.

Die grundlegenden Charakterisierungen
Extrempunkt
f ´( x ) = 0
und
Wechsel der Steigung
fallend zu steigend
oder
steigend zu fallend

Wendepunkt
f ´´ ( x ) = 0

Sattelpunkt
f ´( x ) = 0
und
Steigung bleibt gleich
steigend zu steigend
oder
fallend zu fallend

oder
f ´( x ) = 0
und
f ´´ ( x ) = 0