Optimale Packung von 10 gleichgrossen Kreisen (Radius R) in einem Quadrat: wie lautet die analytische Lösung?

Question

Wenn man 10 Kreise mit gleichem Radius R optimal in ein Quadrat (A x A) packt, ist das Verhältnis A/R = 6,74744... Dies kann man iterativ z. B. mit dem Excel-Solver lösen, indem man bei vorgegebenem Radius R die Positionen der Kreise variiert und das Minimum  der Seitenlänge A des Quadrats sucht.

Kennt jemand eine implizite oder explizite analytische Lösung für das Verhältnis A/R der optimalen Packung?

Comments

Du könntest erstmal Deine Lösung vorstellen, damit man nicht das Rad neu erfinden muss!

z.B. was heißt optimal?

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Hier kann man sich die optimale Packung im Bild zu Gemüte führen. Die Quelle für den Optimalitätsnachweis ist auch angegeben, nämlich:

C. de Groot, R. Peikert, D. Würtz, The Optimal Packing of Ten Equal Circles in a Square, IPS Research Report No, 90-12, ETH Zurich, 1990.

Der Link auf das entsprechende Dokument (in PDF) schlägt allerdings fehl.

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danke euch für die Antworten.

Ich habe das Problem iterativ bereits mit dem Excel-Solver gelöst und bin auch auf den in der Literatur angegebenen Wert von 6,74744 ... gekommen  (s. auch in der von Gast az0815 angegebenen Quelle).

Wenn ich dann basierend auf der grafischen Darstellung der Lösung geometrische Beziehungen aufstelle komme ich zu impliziten Gleichungen, aus denen ich ebenfalls iterativ einen Wert für A/R ermitteln kann. Dieser Wert liegt geringfügig unter dem o.g. Wert für die optimale Packung (d. h. die Anordnung, bei der die nicht von den Kreisen ausgefüllte Fläche innerhalb des Quadrats minimal ist). Ich hätte gerne einen Vergleich mit einem eventuell bereits bestehenden analytischen Lösungsweg. Vielleicht kann sich ja jemand anhand der Grafik in der von Gast az0815 angegeben Quelle an einer analytischen Lösung versuchen?

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Ok, falls es hilft, die oben angeführte Arbeit findet sich auf ResearchGate:

The Optimal Packing of Ten Equal Circles in a Square

 Viel Spaß!