Warum ist das die Ableitung eines Skalarproduktes ? Notation vgl. Kommentar

Question

Bitte um Erklärung der folgenden Ableitung

Es soll sich um die Ableitung eines Skalarproduktes handeln aber ich stehe gerade auf dem Schlauch was das anbelangt.

Kann mir jemand die Gleichung erklären bzw. warum es gleich $$ \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} $$ ist?

Comments

Die Notation in dem Bild ist fehlerhaft. Vermutlich soll der Gradient bestimmt werden.Wie lautet die Originalaufgabe?

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Es handelt sich um ein Ausschnitt aus der Vorlesungsfolie zum Thema Vektoren und Matrix:

Vektoren: 

 

Skalarprodukt:

Dann kam bereits die obigen Gleichung.

Danach kommt diese Gleichung, die ich auch nicht verstehe, da etwas zu fehlen scheint..: 

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OK, die Gleichungen sind alle richtig. Das sind mehr oder weniger Definitionen. Der ' soll für die Transponierung des Vektors stehen (also aus einem Spaltenvektor einen Zeilenvektor machen). In der letzten Gleichung wird einfach die Matrixmultiplikation durchgeführt.

Answer 1

nun zu deiner ursprünglichen Frage:

wenn man mal von der Notation absieht, dann steht da folgendes

d(x'z)/dz= [(d(x_1*z_1) +d(x_2 *z_2))]/dz

= (d/dz_1 [(d(x_1*z_1) +d(x_2 *z_2))],d/dz_2 [(d(x_1*z_1) +d(x_2 *z_2))])'

Definition des Gradienten, siehe hier:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Gradient_(Mathematik)

=(x_1,x_2)' , da x_1, x_2 konstante Faktoren sind, dz_1/dz_1=dz_2/dz_2=1

sowie dz_2/dz_1=dz_1/dz_2=0

Comments

Hier nochmal ordentlich aufgeschrieben:

$$\frac{d(\boldsymbol x' \boldsymbol z)}{d\boldsymbol z}=\frac{d}{d\boldsymbol z}(x_1z_1+x_2z_2)\\ :=(\frac{d}{dz_1}[x_1z_1+x_2z_2],\frac{d}{dz_2}[x_1z_1+x_2z_2])'\\ =(x_1+0,0+x_2)'=(x_1,x_2)'\\$$